总习题二高等数学同济大学第六版本

总 习 题 二 1? 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内? (1)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的____________条件? f(x)在点x0连续是f(x)在点x0可导的____________条件? (2) f(x)在点x0的左导数f??(x0)及右导数f??(x0)都存在且相等是f(x)在点x0可导的_______条件? (3) f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的____________条件? 解 (1)充分? 必要? (2) 充分必要? (3) 充分必要? 2? 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论? 设f(x)在x?a的某个邻域内有定义? 则f(x)在x?a处可导的一个充分条件是( )? f(a?2h)?f(a?h) (A)limh[f(a?1)?f(a)]存在? (B)lim存在? h?0h???hhf(a?h)?f(a?h)f(a)?f(a?h) (C)lim存在? (D)lim存在? h?0h?02hh 解 正确结论是D? f(a)?f(a?h)f(a?h)?f(a)f(a??x)?f(a)?lim?lim 提示? lim(?x??h). h?0h?0?x?0h?h?x 3? 设有一根细棒? 取棒的一端作为原点? 棒上任一点的做标x为? 于是分布在区间[0? x]上细棒的质量m是x的函数m?m(x)?应怎样确定细棒在点x0处的线密度(对于均匀细棒来说? 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度?？ 解 ?m?m(x0??x)?m(x0)? 在区间[x0? x0??x]上的平均线密度为 ?m?m(x0??x)?m(x0) ??? ?x?x于是? 在点x0处的线密度为 ?m?limm(x0??x)?m(x0)?m?(x) ??lim0? ?x?0?x?x?0?x 4? 根据导数的定义? 求f(x)?1的导数? x

1?1??x?1??1? 解 y??limx??xx?lim?lim?x?0?x?0?x(x??x)x?x?0(x??x)x?xx2 5? 求下列函数f(x)的f??(0)及f??(0)?又f ?(0)是否存在? sinx x?0 (1)f(x)??? ?ln(1?x) x?0??x x?0?1 (2)f(x)??1?ex? ?0 x?0??(0)?lim? 解 (1)因为f?x?0f(x)?f(0)?lim?sinx?0?1? x?0x?0x1f(x)?f(0)ln(1?x)?0?(0)?lim??lim??lim?ln(1?x)x?lne?1? f?x?0x?0x?0x?0x而且f??(0) ? f??(0)? 所以f ?(0)存在? 且f ?(0)?1? x?01f(x)?f(0)x?(0)?lim??lim?1?e?lim?11?1? (2)因为f?x?0x?0x?0x?0x?01?exx?01f(x)?f(0)x?(0)?lim??lim?1?e?lim?11?0? f?x?0x?0x?0x?0x?01?ex而f??(0)? f??(0)? 所以f ?(0)不存在?

6? 讨论函数 1 x??xsin ? 0 f(x)?? x? ? 0 ?0 x在x?0处的连续性与可导性? 解 因为f(0)?0? limf(x)?limxsin1?0?f(0)? 所以f(x)在x?0处连续? x?0x?0x1?0xsinf(x)?f(0)x?limsin1不存在? 所以f(x)在x?0处不?lim 因为极限limx?0x?0x?0xxx

可导? 7? 求下列函数的导数? (1) y?arcsin(sin x)? (2)y?arctan1?x? 1?x (3)y?lntanx?cosx?lntanx? 2 (4)y?ln(ex?1?e2x)? (5)y?xx(x>0) ? 解(1)y?? (2)y??11?(sinx)???cosx?cosx? |cosx|1?sin2x1?sin2x(1?x)?(1?x)111? ?(1?x)????(1?x)21?x21?(1?x)21?x1?(1?x)21?x1?x (3)y??1?(tanx)??sinx?lntanx?cosx?1?(tanx)? 2tanxtanx2 1?sec2x?1?sinx?lntanx?cosx?1?sec2x?sinx?lntanx? x22tanxtan22xx112eex2x?x? ?(e?1?e)??(e?)?x2xx2x2x2xe?1?ee?1?e21?e1?e (4)y??1y???1lnx?1?1y??xx(?1lnx?1)?xx(1?lnx)1 (5)lny?lnx? ? ? yxxx2x2x2x2x

8? 求下列函数的二阶导数? (1)y?cos2x ?ln x ? (2)y?x? 1?x2 解 (1)y???2cosxsinx?lnx?cos2x?1??sin2x?lnx?cos2x?1? xx

y????2cos2x?lnx?sin 2x?1?2coxssinx?1?co2sx?1xxx222sin2xcos?2x? ??2cos2x?lnx?xx1?x2?x??x2?31?x2 (2)y???(1?x)2 21?x?3x y????3(1?x2)2?(?2x)?? 252(1?x)5

9? 求下列函数的n阶导数? (1)y?m1?x? (2)y?1?x? 1?x 解 (1)y?m11?x?(1?x)m1? 11?1?2?3 y??1(1?x)m? y???1(1?1)(1?x)m? y????1(1?1)(1?2)(1?x)m? ? ? ?? mmmmmm?n?1(1?1)(1?2) ? ? ? (1?n?1)(1?x)m? mmmm1 y(n) (2)y?1?x??1?2(1?x)?1? 1?x y??2(?1)(1?x)?2? y???2(?1)(?2)(1?x)?3? y????2(?1)(?2)(?3)(1?x)?4? ? ? ?? y

10? 设函数y?y(x)由方程e y?xy?e所确定? 求y??(0)? 解 方程两边求导得 e yy??y?xy??0? —— (1) y于是 y???? x?ey

(n)?2(?1)(?2)(?3) ? ? ? (?n)(1?x)?(n?1)2(?1)nn!? ?n?1(1?x)

yy?(x?ey)?y(1?eyy?) y???(?? ——(2) )???x?ey(x?ey)2当x?0时? 由原方程得y(0)?1? 由(1)式得y?(0)??1? 由(2)式得y??(0)?1? ee2dyd2y 11? 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数2? dxdx?x?acos3? (1)?? 3y?asin???x?ln1?t2 (2)?? y?arctant?dy(asin3?)?3asin2?cos? 解 (1)????tan?? dx(acos3?)?3acos2?(?sin?)2d2y(?ta?n)??sec?1se4 ???c??cs?c? dx2(aco3s?)??3aco2s?sin?3a1dy(arctant)?1?t21???? (2) tdx[ln1?t2]?t1?t21)??1(dytt2??1?t2? ?? tdx2[ln1?t2]?t31?t22

?x?2et 12? 求曲线?在t=0相的点处的切线方程及法线方程? ?t?y?edy(e?t)??e?t 解 ?t?t??12t? dx(2e)?2e2edy??1? x?2? y?1? dx2所求切线的方程为y?1??1(x?2)? 即x?2y?4?0? 2 当t?0时?

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