初等数论知识点汇总

第一节 整数的p进位制及其应用

正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识

给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为am?1,am?2,?,a0，则此数可以简记为：A?am?1am?2?a0（其中am?1?0）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的m?1次多项式，即

A?am?1?10m?1?am?2?10m?2???a1?10?a0，其中ai?{0,1,2,?,9},i?1,2,?,m?1且

am?1?0，像这种10的多项式表示的数常常简记为A?(am?1am?2?a0)10。在我们的日常

生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作A?am?1am?2?a0，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：

A?am?1?pm?1?am?2?pm?2???a1?p?a0，其中ai?{0,1,2,?,p?1},i?1,2,?,m?1且

am?1?0。而m仍然为十进制数字，简记为A?(am?1am?2?a0)p。

第二节 整数的性质及其应用（1）

基础知识

整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。

1．整除的概念及其性质

在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设a,b是给定的数，b?0，若存在整数c，使得a?bc则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a记作b a。

由整除的定义，容易推出以下性质：

(1)若b|c且c|a，则b|a(传递性质)；

(2)若b|a且b|c，则b|(a?c)即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知b|a及b|c，则对于任意的整数u,v有b|(au?cv)。更一般，若

na1,a2,?,an都是b的倍数，则b|(a1?a2???an)。或着a|bi，则a|?cbii?1i其中

ci?Z,i?1,2,?,n；

(3)若b|a，则或者a?0，或者|a|?|b|，因此若b|a且a|b，则a??b； (4)a,b互质，若a|c,b|c，则ab|c；

(5)p是质数，若p|a1a2?an，则p能整除a1,a2,?,an中的某一个；特别地，若p是质数，若p|an，则p|a；

(6)(带余除法)设a,b为整数，b?0，则存在整数q和r，使得a?bq?r，其中

0?r?b，并且q和r由上述条件唯一确定；整数q被称为a被b除得的(不完全)商，数r称

为a被b除得的余数。注意：r共有b种可能的取值：0,1，??，b?1。若r?0，即为a被b整除的情形；

易知，带余除法中的商实际上为??（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关

b?b?于余数r的不等式：0?r?b。证明b|a的基本手法是将a分解为b与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个

分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。

若n是正整数，则x?y?(x?y)(x若n是正奇数，则x?y?(x?y)(x代y）

nmnnnnn?1?a?a?xn?2y???xyn?2n?2?yn?1n?1)；

n?1?xn?2y???xy?y)；（在上式中用?y(7)如果在等式?ai??bk中取去某一项外，其余各项均为c的倍数，则这一项也是c的

i?1k?1倍数；

(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；

(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；

2．奇数、偶数有如下性质：

(1)奇数?奇数=偶数，偶数?偶数＝偶数，奇数?偶数＝奇数，偶数?偶数＝偶数，奇数?偶数＝偶数，奇数?奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；

（2）奇数的平方都可以表示成8m?1的形式，偶数的平方可以表示为8m或8m?4的形式； （3）任何一个正整数n，都可以写成n?2ml的形式，其中m为负整数，l为奇数。 （4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

3．完全平方数及其性质

能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论： （1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；

（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；

（3）奇数平方的十位数字是偶数；

（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；

（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；

（6）平方数的约数的个数为奇数； （7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

（8）设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂（k?2），若（a,b）＝1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a,b,?,c之积是一个正整数的k次方幂（k?2），若a,b,?,c两两互素，则a,b,?,c都是正整数的k次方幂。 4．整数的尾数及其性质

整数a的个位数也称为整数a的尾数，并记为G(a)。G(a)也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：

（1）G(G(a))?G(a)；（2）G(a1?a2???an)＝G[G(a1)?G(a2)???G(an)]； （3）G(a1?a2???an)?G(10a?b)?G(b)；

4k4?（5）若a?b?10c，则G(a)?G(b)；（6）G(a)?G(a),a,k?N；

G[G(a1)?G(a2)???G(an)]；（4）G(10a)?0；

（7）G(a4k?r)?G(a),k?0,0?r?4,a,k,r?N；

G(a),当b1为奇数，b2是偶数??4)??G(a),当b1为偶数，b2为奇数或b1,b2同时为偶数时b?G(a1),当b1,b2同为奇数时?r?（8）G(ab1bb2?n

5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）

（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能； （2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能； （3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；

（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；

（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。

6．质数与合数及其性质 1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。 2．有关质（素）数的一些性质

（1）若a?Z,a?1，则a的除1以外的最小正因数q是一个质（素）数。如果q?a，则q?（2）若p是质（素）数，a为任一整数，则必有p|a或（a,p）＝1；

（3）设a1,a2,?,an为n个整数，p为质（素）数，且p|a1a2?an，则p必整除某个ai（1?i?n）； （4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数a，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；

（5）任何大于1的整数a能唯一地写成a?p1p2?pk,i?1,2,,?,k ① 的形式，其中pi为质（素）数（pi?pj(i?j)）。上式叫做整数a的标准分解式； （6）若a的标准分解式为①，a的正因数的个数记为f(a)，则f(a)?(a1?1)(a2?1)?(ak?1)。

a1a2ak a；

第三节 整数的性质及其应用（2）

基础知识

最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。 定义1.（最大公约数）设因为符号（

当（

不全为零，故

不全为零，同时整除

的整数（如

）称为它们的公约数。的最大公约数，用

只有有限多个，我们将其中最大一个称为

）表示。显然，最大公约数是一个正整数。 ）＝1（即

的公约数只有

）时，我们称

与互素（互质）。这是数论

中的非常重要的一个概念。

同样，如果对于多个（不全为零）的整数

，可类似地定义它们的最大公约

数（）。若（）＝1，则称互素。请注意，此时不能推出

）＝1。

的）；）等

两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（

由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变符号，不改变（（

）的值，即

；（

）可以交换，（

）＝（）＝（

）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数，有（

等。为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质： （1）设

是不全为0的整数，则存在整数

，使得

，使得

；

；

使等式成立，不妨

，从而

。

（2）（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数

事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。反过来，若有设（3）若（4）若

，则

，则，则

，故

，即

及

，于是

，即

的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数； ；

（5）若整数； （6）若

，则，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的

，则，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关，对于

有

，进而有对

于乘法封闭。并由此可以推出：若有（7）设

。 ，若

，则

；

（8）设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂（k?2），若（a,b）＝1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a,b,?,c之积是一个正整数的k次方幂（k?2），若

a,b,?,c两两互素，则a,b,?,c都是正整数的k次方幂。

定义2.设是两个非零整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数

有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作，对于多个非零实数

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