数列，极限，数学归纳法·等比数列

数列、极限、数学归纳法·等比数列

教学目标

1．理解并掌握等比数列的定义、通项公式及其初步应用；领略“递推”的思想方法．

2．通过公式的探求，引导学生学习观察、类比、猜测等合情推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力．

3．通过教证明、教猜想，学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

教学重点和难点

等比数列定义、通项公式及其一般形式的探求． 教学过程设计

师：请同学们回忆等差数列是怎么定义的？通项公式是什么？怎样证明？ 生1：定义是：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫公差，用d表示．

（生1语言表述，老师代为写出）an-an-1=d，n=2，3，?． 生2：通项公式是an=a1+（n-1）d，n=2，3，?． 师：作为“通项”公式，应对所有项适合，是这样吗？

生3：当n=1时，左边=a1，右边=a1+（1-1）d=a1+0=a1，适合．所以通项公式为an=a1+（n-1）d，n=1，2，3，?．

师：哪位同学能证明？

生4：（板书）在an-an-1=d中，命下标取2，3，?，n-1，n，得 a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d ??

an-1-an-2=d +）an-an-1=d an-a1=（n-1）d 所以an=a1+（n-1）d．

生5：也可采用“连续代入”的方法：（生5口述，师板书）由an-an-1=d，得an=an-1+d=an-2+2d（注意下标与d的系数的关系）=an-3+3d=?=a1+（n-1）d． 师：非常好！这就是严格的证明了．请注意，把定义改写为an=an-1+a就是“递推关系”了，它有“顺次递推”的功能，生5的证法就是巧用了这个功能． （这里，“复习”不是单纯地对“知识”的回顾，而是通过对知识产生过程的反思，起到承上启下的作用，为本课反复运用的类比打下了基础，这里，通过对教材的略加变通（一是检验了n=1的情形；二是严格推导），把教材中原本仅是猜想（但学生常误认为是证明）的东西，给出了严格的证明，而且获得了“错位相消”和“连续代入”两种重要技巧）

师：请同学们观察如下两个数列（投影仪打出）： （Ⅰ）5，25，125，625，?

有什么特点？它们是等差数列吗？

师：共同特点是什么？可仿“等差数列”来描述．

生6：从第二项起，每一项与它前一项的商都等于同一个常数．（师板书） 师：好，上述两个数列都具有很好的特点，它和等差数列一样，是一类重要的数列，谁能为这样的数列起个名字吗？

生7：叫“等商数列”．

师：可以，但“每一项与它前一项的商”应说成“每一项除以它的前一项的商”．还可怎样说？

生8：可以说成“每一项与它前一项的比”．噢，那就叫“等比数列”． 师：好！两种说法都正确，请完整地叙述一下

生：如果一个数列（ ）从第2项起（ ），每一项（ ）与它前一项（ ）的比等于同一个常数（ ），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数（ ）叫做公比．

（在学生叙述时，老师板书，并有意识地留下了空隙．学生说完之后，同大家商量着在空隙中依次填上{an}，n=2，3，?，an-1，an，

师：等比数列的定义还可以用怎样的数学式子来刻划？

师：以上我们学习了等比数列的定义．等比数列的定义可作为判断一个数列是否是等比数列的依据．

请考虑如下数列是否是等比数列（投影仪打出）：

②1，2，4，8，12，16，20，?；

④1，1，1，?，1； ⑤a，a，a，?，a． （生口答，师板书）

师：你能求出a1999=？

师：好！谁来回答④和⑤？

师：有不同意见吗？

生13：④是等比数列；对⑤，当a≠0时，⑤是等比数列；当a=0时，⑤不是等比数列．

师：很好！由此联想到什么？关于等比数列的项和公比有何限制？ 生14：an≠0，q是非零常数．

师：有没有既是等差又是等比数列的数列？ 生15：有，就是非零常数列．

（让学生自行通过观察、类比、综合得到定义，自行命名，这是尊重学生的主体地位，强化学生主体意识；通过讨论定义，把普通语言译成符号语言，体现了数学的特点，手把手教将数学“符号化”的能力，这非常重要；通过实例尝试，而不是通过“嘱咐”让学生认识等比数列是非零数列（an≠0，q≠0），这样做效果好）

（绝大部分学生在加紧演算，但似有难色）

生16：求a6，a7等是可以的，但a1999不可能很快求出．

师：前面③中的a1999这么容易求出，而这里的a1999却不易求出，原因何在？ 生16：③中已给出通项公式，而这里未给出通项公式．

师：看来，要很快地求出本题中的a1999，首先要探求等比数列的通项公式．那么等比数列的通项公式是怎样的呢？能否试着求出a2，a3，a4？从中能否得到某种启示？

生17：a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，猜想an=a1qn-1．

师：生17提出了等比数列通项公式的一个猜想，让我们用本课开始时给出的两个等比数列加以验证。

生18：对（Ⅰ），按此猜想应有an=5·5n-1=5n，则a1=5，a2=25，a3=125，a4=625．正确！

师：通过上述二例的验证，进一步增强了猜想的可信度，但要肯定它正确，必须证明．哪位同学来证明？请上黑板．

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新教学研究数列，极限，数学归纳法·等比数列 全文阅读和word下载服务。