1.2幂的乘方与积的乘方(1)幂的乘方

1.2幂的乘方与积的乘方(1)

回顾与思考

回顾 & 思考 …· a· a· a = an

幂的意义:

n个 a

同底数幂乘法的运算性质：

am · an = am+n (m,n都是正整数)…· …· am · an =(a· a· a) (a· a· a)

m个a(m+n)个a

n个 a

…· = a· a· a = am+n

正方体的体积比与边长比的关系正方体的体积之比= 边长比的 立方。

正方体的边长是 2 cm, 则乙正方体的 体积 V乙= 8 cm3 甲正方体的边长是乙正方体的 5 倍，则 甲正方体的体积 V甲= 1000 cm3 V甲 是 V乙 的 125 倍

即

53

倍

球的体积比与半径比的关系球体的体积之比= 半径比的 立方。

乙球的半径为 3 cm, 则 乙球的体积V乙= 36 cm3. 甲球的半径是乙球的10倍，则 甲球的体积V甲= 36000 cm3 . V甲 是 V乙 的 1000 倍

4 3 V球 R 3

即

103

倍

如果甲球的半径是乙球的n

倍，那么甲球体积 是乙球体积的 n3 倍。

地球、木星、太阳可以近似地看作球体 。木星、太阳 2倍，它们的体积分别约 的半径分别约是地球的 10 倍和 10 3 6 10 10 是地球的 倍和 倍. (102)3=106,为什么？ 得半体 多径积 扩扩 木星 大大 的 的 地球 倍倍 数数 大比

(102)3=106,为什么？ (102)3=106,为什么？

(102)3 幂的意义 2 2 2 ( 根据 ). =10 ×10 ×10 =102+2+2 (根据 同底数幂的乘法性质 ). =106 2 × 3 =10

做一做计算下列各式，并说明理由 . (1) (62)4 ; (2) (a2)3 ; (3) (am)2 ; (4) (am)n . amn 解：(1) (62)4 = 62· 62· 62· 62 =62+2+2+2 =68 =62×4 ; (2) (a2)3 = a2· a2· a2 =a2+2+2 =a6 =a2×3 ; m)2 2 (3) (am =am· am =am+m =a2m ;n

个 am

…· (4) (am)n =am· am· am

(幂的意义)

n 个m =am+m+ … +m (同底数幂的乘法性质)

=amn

(乘法的意义)

幂 的 乘 方 法则

(am)n=amn (m,n都是正整数) 幂的乘方，底数 不变， 指数 相乘 .

例题解析【例1】计算： (1) (102)3 ; (2) (b5)5 ; (4) -(x2)m ; (5) (y2)3 · y; 解： (1) (102)3 =102×3 =106 ;

(3) (an)3; (6) 2(a2)6 - (a3)4 .

(2) (b5)5 = b5×5 = b25 ; (3) (an)3 = an×3 =a3n ; (4) -(x2)m = -x2×m = -x2m ; (5) (y2)3 · y= y2×3 · y = y6 · y = y7; (6) 2(a2)6 – (a3)4 =2a2×6 - a3×4 =2a12-a12 =a12.

幂的乘方的运算性质： 幂 的 意 义

(am)n = amn ( m,n 都是正整数 ). 底数 不变 ， 指数 相乘 .同底数幂乘法的运算性质： am · an= am+n ( m,n 都是正整数 )底数 不变 ， 指数 相加 .

练习1、计算

(1)(10 )

3 3 2 5 2

( 2) ( a )3 4

(6)(x4)3·(x2)8 (7)(a2)3·(a3)4

(3)(x ) x ( 4)( a )3 2n

m 4 (5)(a )

(8)(am+3)2 (9)[(x-3y)m]3 (10)9m·27n

注1:幂的底数和指数不仅仅是单独字母 或数字，也可以是某个单项式和多项式.

练习1、下列各式是真是假：

(1)(a5)2=a7 (4)x3m+1=(x3)m+1 (2)a5·a2=a10 (5)a6·a4=a24 (3)(x3)3=x6 (6)4m·4n=22(m+n)注2:幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同 m n mn (a ) a (m, n都是正整

数 ).a m a n a m n (m, n都是正整数 ).

注3:多重乘方可以重复运用上述幂的 乘方法则.

[(am)n]p=(amn)p=amnp注4:幂的乘方公式还可逆用.mn m n a =(a ) n m =(a )

例2.已知：a 3, a 5.求a解： ∵am=3, an=5 ∴a3m+2n=a3m·a2n =(am)3·(an)2 =33×52 =675.

m

n

3m 2n

的值.

例3 计算 (x-y)m(y-x)2m+(y-x)3m.

解：原式= (x-y)m(x-y)2m+(y-x)3m =(x-y)3m+(y-x)3m

0= 2(x-y)3m

m为奇数m为偶数

例4.解方程： 9 3x x 1

1、在2 , 3 , 4 , 5 这四个幂中 数值最大的一个是___。 2、选择题n n( )。

55

44

33

22

等式 a ( a) (a ≠ 0)成立的条件是

A、n是奇数 C、n是正整数

B、n是偶数 D、n是整数

提高训练* x 4, 则xn 3n

_____; 若x

3n

4, 则x

6n

____.

1、若2 3, 2 6, 2 12,a b c

试说明2b a c

2、在括号内填上指数或底数

( 1)、 4 (2)、 9

3 2

=2

()

3 3

=()2

3、 10 =5, 10 =6 求102a+3b

a

b

的值。

4、若 a-2b + b-2 =02 4

求a b 的值。5 10

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