第六讲 差倍问题

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第六讲 差倍问题

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前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题， 这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比 较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与 “和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。 “差倍问题”就是已知两个数的差和它们的 倍数关系，求这两个数。 差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要 在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除 数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得 到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再 写出验算和答题。这种类型的题也是有一点要注 意：找好对应关系。

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【例题1】 甲乙两个仓库存有粮食若干，已知甲仓库的粮食是乙仓库 的5倍，还知道甲仓库的粮食比乙仓库多800吨，求甲乙仓库各有粮 食多少吨？ 分析：显然，乙仓库是一倍数，根据题意画出线段图。结合线段图， 我们可以看出，当甲仓库的粮食是乙仓库的5倍时，实际上甲仓库的 粮食比乙仓库的粮食多出5-1=4(倍),而这多出的4倍和甲仓库比 乙仓库多出的800吨相对应。由此我们可以求一倍数是多少，即乙仓 库中有多少粮食。

解答： 甲仓库的粮食比乙仓库多几倍：5-1=4(倍) 乙仓库的粮食重量为：800÷4=200(吨) 甲仓库的粮食重量：200×5=1000(吨) 答：甲仓库有粮食1000吨，乙仓库有粮食200吨。

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【例题2】 甲乙两袋面粉重量相同，如果从甲袋取出36千 克，乙袋增加24千克，则乙袋面粉的重量是甲袋面粉重量 的7倍，原来两袋各有多少千克面粉？ 分析：根据题意画出线段图如下，可以看出，当从甲袋中 取出36千克，又在乙袋中添入24千克之后，乙袋就会比 甲袋多(36+24)千克，而且还知道乙袋的重量比甲袋 的重量多(7-1)倍，即乙袋减去甲袋的差占甲袋的6倍。解答： 乙袋比甲袋多： 36+24=60(千克) 甲袋有： 60÷6=10(千克) 乙袋有： 10+36=46(千克) 答：甲乙两袋原来各有46千克。

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【例题3】水果店运来苹果的重量是橙子重量的3倍，卖出 苹果1800千克，橙子300千克，剩下的两种水果的重量 相等，水果店运来的苹果和橙子各是多少千克？

分析 这样想：根据“水果店运来的苹果 是橙子的3倍”应把运来的橙子的重量看 作1倍；“卖出苹果1800千克，橙子 300千克后，剩下两种水果的重量正好相 等”,说明运来的苹果比橙子多1800300=1500(千克).从上图中清楚地看 到这个重量相当于橙子重量的3-1=2 (倍),这样就可以先求出运来的橙子是 多少千克，再求运来的苹果是多少千克。

解：①运来橙子：(1800-300)÷(3-1)=750(千克) ②运来苹果： 750×3=2250(千克) 验算： 2250-1800=450(千克)(

苹果剩下部分) 750-300=450(千克)(橙子剩下部分) 答：水果店运来苹果2250千克，橙子750千克。

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【例题4】哥哥有240元，弟弟有100元。现在两人花出去同样多的 钱后，剩下的钱数，哥哥是弟弟的3倍。那么两人各花去多少钱？ 分析： 根据“剩下的钱数，哥哥是弟弟的3倍”分析出弟弟剩下钱数为1 倍，哥哥剩下钱数为3倍，哥哥比弟弟多剩2倍，又根据已知得出两人 花出同样多的钱，所以两人的钱数差不变，仍为200-100=140元。 哥哥比弟弟多140元，多2倍。140÷2=70元,是1倍量，也就是弟弟 剩下的钱数。 画图分析：

具体步骤： 弟弟剩下钱数：(240-100)÷(3-1)=70(元) 两人花出钱数：100-70=30(元)或240-70×3=30(元) 说明： 本题哥哥有240元，弟弟有100元，他们钱数的差是140 元。两人花出同样多的钱后，他们的钱数差不变，仍为140元， 理解以上道理是解答此题的关键。

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【例题5】有两根同样长的绳子，第一根截去12 米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根 长的3倍，两根绳子原来各长多少米？分析 上图，两根绳子原来的长度一样 长，但是从第一根截去12米，第二根 绳子又接上14米后，第二根的长度是 第一根的3倍.应该把变化后的第一根 长度看作1倍，而12+14=26(米), 正好相当于第一根绳子剩下的长度的 2倍.所以，当从第一根截去12米后剩 下的长度可以求出来了，那么第一根、 第二根原有长度也就可以求出来了。

解：①第一根截去12米剩下的长度： (12+14)÷(3-1)=13(米) ②两根绳子原来的长度：13+12=25(米) 答：两根绳子原来各长25米。

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【例题6】有两桶重量相等的油，甲桶取出12千 克，乙桶加入14千克，这时乙桶油的重量是甲桶 油重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？ 分析与解 分析时先观察图3的线段图，然后思考 下列几个问题：(1)依据题意应该把哪个数量作为1倍？ (2)你能从图上看出，(12+14)千克相 当于甲桶油剩下重量的几倍吗？ (3)怎样求甲桶油剩下的重量？ (4)怎样求两桶油原来的重量？ 由以上几个问题，再考虑如何列式解答。 (1)乙桶加入14千克油后的重量比甲桶 油剩下(即甲桶取出12千克后)重量多的千克 数是： 12+14=26 (2)乙桶加入14千克油后的重量比甲桶 油剩下的重量多的倍数是：3-1=2 (3)甲桶油剩下的重量是： 26÷2=13(千克) (4)两桶油原来各有的重量是： 13+12=25(千克)

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【例题7】两块同样长的布，第一块卖出25米，第二块卖 出14米，剩下的布第二块是第一块的2倍，求每块布原有 多少米？ 分析： 本题为差倍问题。

具体步骤： 第一块剩下米数：(25-14)÷(2-1)=1

1(米) 每块布原有米数：11+25=36(米)或11×2+14=36(米)

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【例题8】三(1)班与三(2)班原有图书数一 样多.后来，三(1)班又买来新书74本，三(2) 班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这 时，三(1)班图书是三(2)班的3倍，求两班 原来各有图书多少本？分析 两个班原有图书一样多.后来 三(1)班又买新书74本，即增加 了74本；三(2)班从本班原有图 书中取出96本送给一年级同学， 则图书减少了96本.结果是一个班 增加，另一个班减少，这样两个 班图书就相差96+74=170 (本),也就是三(1)班比三 (2)班多了170本图书.又知三 (1)班现有图书是三(2)班图 书的3倍，可见这170本图书就相 当于三(2)班所剩图书的3-1=2 倍，三(2)班所剩图书本数就可 以求出来了，随之原有图书本数 也就求出来了(见上图)。

解：①后来三(1)班比三(2)班图书多多少 本？74+96=170(本) ②三(2)班剩下的图书是多少本？ 170÷(3-1)=85(本) ③三(2)班原有图书多少本？ 85+96=181(本)(两个班原有图书一样多) 答：两班原来各有图书181本。

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【例题9】甲乙两班，如果从甲班调2人到乙班，则甲乙两班人数相等， 如果从乙班调17人到甲班，则甲班人数比乙班现在人数的3倍还多2 人，甲乙两班原来各有多少人? 分析：从“如果从甲班调2人到乙班，则甲乙两班人数相等”可以看 出，原来甲班比乙班多4人，从“如果从乙班调17人到甲班，则甲班 人数比乙班现在人数的3倍还多2人”可以看出，调完后，由于乙班减 少了17人，而甲班又增加了17人，所以甲班就会比乙班再多34人， 一共多出38人。 根据题意，多的38人，相当于比乙现在的2倍多2人，根据差倍的解 题方法，可以求乙调动后有多少人，然后再求出两班原来的人数。 解答： 原来甲班比乙班多的人数：2×2=4(人) 如果从乙班再调17人到甲班，甲班比乙班多的人数：4+17×2=38 (人) 调出17人后，乙班现有的人数： (38-2)÷(3-1) =36÷2 =18(人) 乙班原有的人数为：18+17=35(人) 甲班原有的人数为：35+4=39(人) 答：甲班原有39人，乙班原有35人。

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总结 说明：本题是一个典型的差倍应用题。通 过对这道题的分析可以看出，如果知道未 知量之间的倍数关系，以及这两个量的差， 就可以分别求出这两个未知量。关键在于： 多出的数量(两数的差)与多出的倍数是 对应的。即： 小提示： 小数=差÷(倍数-1) 1、画线段图是一个很好的 大数=小数×倍数 分析题的方法。 2、找好一种正确的对应关 或 大数=小数+差系很重要。

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练习

题 1.一班图书比二班图书多85本，且一班图 书是二班图书的6倍，二班图书多少本? 分析与解答：一班比二班多的85本图书相 当于二班的(6-1)倍，所以： 二班有图书：85÷(6-1)=17(本) 答：二班有图书17本。

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2.军军和小刚两人用同一张试卷做计算题，已知军军比 小刚先做了80个，当军军又做47个，小刚又做64个后， 小刚剩的题数是军军剩的题数的4倍，原来这张试卷有多 少道题? 分析：由于小刚剩的题数是军军剩的题数的4倍，那么小 刚比军军少作的部分就相当于军军的3倍，又知军军一共 比小刚多做了(80-64+47)道，可求出军军还剩多少道 题。军军剩的题数加上做完的题数即为总题数。

解答： 军军比小刚多做的题数：80-64+47=63(道) 军军剩的题数：63÷(4-1)=21(道) 这张试卷题的总数：21+80+47=148(道) 答：原来这张试卷有148道题。

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3.甲乙两桶各有200升和100升的汽油，现在两 桶倒出同样多的汽油后，甲桶剩下的油是乙桶的5 倍，那么甲乙两桶各倒出多少油? 分析：现在甲乙两桶油的差是：200-100=100 (升),根据被减数与减数同时减去同一个数差 不变的特点，两桶倒出同样多的汽油后，仍然相 差100升。利用差倍问题的解答方法，可以解题。 解答： 甲乙两桶油相差的升数：200-100=100(升) 乙桶现在的升数：100÷(5-1)=25(升) 乙桶被倒出的汽油的升数100-25=75(升) 答：甲乙两桶都被倒出了75升。

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4.芳芳在计算两个数的和时，把其中一个加数个位的0漏 掉了，结果和变成了59,已知正确答案应为392,求这两 个数。 分析：一个数去掉个位的零，相当于把这个数缩小10倍。 假设这没变的数为甲数和漏掉0后产生的新数为乙数，那 么 对于算错的情况是：甲数+乙数=59 对于算对的情况是：甲数+乙数×10=392 对比两个算式，我们发现，第二个算式比第一个算式，左 边由于多算了乙数的9倍，结果就多了(392-59)。 所以392-59的差就相当于乙数的9倍。 解答：漏掉0后，这个数是(392-59)÷9 =333÷9 =37 漏掉0前，这个数是370; 另一个数是：59-37=22。 答：这两个数分别是370和22。

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5.某大型小区有红楼、黄楼和蓝楼，已知红楼比 蓝楼的2倍还多1座，黄楼比红楼的3倍少6座，已 知黄楼比蓝楼多27座，求该小区共有多少座楼? 分析：根据题意画出线段图，如下图所示。从图中不难看出，如果用黄楼比蓝楼多 的27座，再加上黄楼比红数3倍少的6 座，就相当于比蓝楼的5倍还多3座。 因此27+6-3就相当于蓝楼的5倍。 解答： 蓝楼的座数为：(27+6-3)÷ (2×3-1) =30÷5 =6(座) 红楼

的座数为：6×2+1=13(座) 黄楼的座数为：13×3-6=33(座) 小区共有：6+13+33=52(座) 答：该大型小区共有52座楼。

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6.甲仓存有大米是乙仓的4倍，从甲仓运走 18000千克，从乙仓运走1500千克后，两仓所 剩大米数相等，问各仓原有大米多少千克? 分析：因为两仓所剩大米数相等，所以甲比乙仓 多的米，全部体现在两库运走的米数上，从而可 以求出甲仓比乙仓原来多的米数，又知甲仓是乙 仓所存米数的4倍，可以用差倍的方法来解题。 解答： 乙仓的存米数：(18000-1500)÷(4-1) =16500÷3=5500(千克) 甲仓的存米数：5500×4=22000(千克) 答：甲仓原来有大米22000千克，乙仓原来有大 米5500千克。

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7.甲、乙两校教师的人数相等，由于工作 需要，从甲校调30人到乙校去，这时乙校 教师人数正好是甲校教师人数的3倍，求甲、 乙两校原有教师各多少人？ 解答：把甲校调走30人后的甲校人数看作1 倍： (30×2)÷(3-1)=30(人) 甲、乙两校原有教师各 30+30=60(人)

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8、 两块同样长的花布，第一块卖出31米， 第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍， 求每块花布原有多少米？分析 已知两块花布同样长，由 于第一块卖出的多，第二块卖 出的少，因此第一块剩下的少， 第二块剩下的多.所剩的布第二 块比第一块多31-19=12 (米).又知第二块所剩下的布 是第一块的4倍，那么第二块比 第一块多出的12米正好相当于 所剩布的(4-1)倍，这样， 第一块所剩布的长度即可求出 (见上图)。 。

解：①第二块布比第一块布多剩多少米？ 31-19=12(米) ②第一块布剩下多少米？ 12÷(4-1)=4(米) ③第一块布原有多少米？ 4+31=35(米)(两块布原有长度相等) 答：每块布原有35米长

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