自控理论 5-1根轨迹的基本概念 5-2绘制根轨迹的基本规则(2)

j

i =1

i

( 5 9)( 5 10 )

∑ ∠( s zj =1

j

) ∑ ∠ ( s p i ) = ± ( 2 q )πi =1

n

满足式( )的根轨迹，称为180°根轨迹； 根轨迹； 满足式(5-9)的

根轨迹，称为 满足式( 满足式(5-10)的根轨迹，则称为 °根轨迹。 )的根轨迹，则称为0 根轨迹。 相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条 绘制根轨迹只要满足相角条件就可以， 件，绘制根轨迹只要满足相角条件就可以，而幅 值条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨迹 增益K 增益 1值。

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例5-1 单位负反馈系统的开环传递函数为

K 1 ( s + 4) G( s) = s( s + 2)( s + 6.6)

在s平面上取一试验点 s1= -1.5 + j 2.5, 试检验它是否为根轨迹上的点；如果是， 试检验它是否为根轨迹上的点；如果是， 则确定与它相对应的K 值是多少。 则确定与它相对应的K1值是多少。

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K 1 ( s + 4) K 1 ( s z1 ) G( s) = = s( s + 2)( s + 6.6) ( s p1 )( s p2 )( s p3 )

解：开环极点为： p1 = 0, p2 = -2, p3 = -6.6 ; 开环极点为： 开环零点为： 开环零点为： z1= -4, s1= -1.5+ j2.5

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K 1 ( s + 4) K 1 ( s z1 ) = G( s) = s( s + 2)( s + 6.6) ( s p1 )( s p2 )( s p3 )

根据相角条件∠( s1 z 1 ) ∠( s1 p1 ) ∠( s1 p 2 ) ∠( s1 p 3 ) = 45 0 120 0 79 0 26 0 = 180 0

可知s 确实是根轨迹上的一点。 可知s1确实是根轨迹上的一点。 根据幅值条件s1 p1 s1 p2 s1 p3 K1 = s1 z1 2.9 × 2.6 × 5.8 = = 12.15 3.6

与s1点对应的K1值为12.15 点对应的K 值为12.15

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§5-2 绘制根轨迹的基本规则绘制180 绘制1800根轨迹的规则规则1: 规则1: 根轨迹的分支数和对称性 根轨迹对称于实轴, 根轨迹对称于实轴 分支数 = n 规则2: 规则2: 根轨迹的起点和终点 起始于开环极点,其中 其中m条终止于开环有限零 起始于开环极点 其中 条终止于开环有限零 点, n-m 条终止于无穷远处的零点。 条终止于无穷远处的零点。 规则3 规则3:实轴上的根轨迹 在实轴上根轨迹区段的右侧, 在实轴上根轨迹区段的右侧 开环实零点和实 极点数目之和为奇数。 极点数目之和为奇数。

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规则4 规则4: 根轨迹的渐近线 (1) n-m条渐近线与实轴的夹角为: 渐近线与实轴的夹角为( 2q + 1)π a = n m (q = 0, 1, L n m 1)

∑ p ∑z(2)渐近线与实轴的交点为: σ a = 渐近线与实轴的交点 渐近线与实轴的交点为i =1 i j =1

n

m

j

n m

规则5 根轨迹的分离点、 规则5: 根轨迹的分离点、汇合点 几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称 几条根轨迹在 平面上相遇后又分开的点称 为根轨迹的分离点。特别地又把根轨迹同时离开 为根轨迹的分离点。 分离点 实轴的那一点叫分离点， 实轴的那一点叫分离点，同时回到实轴的那一点 汇合点。 叫汇合点。

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分离点(汇合点) 分离点(汇合点)的坐标可由下列方法确定 方法一 : 极值法 分离点是根轨迹增益的极值点， 分

离点是根轨迹增益的极值点，分离点满 足方程 dK 1 (5 13) =0 ds 方法二: 方法二 试探法 设分离点的坐标为d 设分离点的坐标为d ,则d 满足如下关系n 1 1 ∑d z =∑d p j =1 i =1 j i m

( 5 14)

式中z 为系统的有限开环零点和开环极点。 式中 j、pi为系统的有限开环零点和开环极点。1 若无有限开环零点， 若无有限开环零点，应 在式 ( 5 14)中取 ∑ =0 j =1 d z jm

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实轴上两开环极点间有根轨迹，则必定存在分 实轴上两开环极点间有根轨迹， 实轴上两开环极点间有根轨迹 离点。 离点。 实轴上两开环零点间有根轨迹，则必定存在汇 实轴上两开环零点间有根轨迹， 实轴上两开环零点间有根轨迹 合点。 合点。 jω ωω 汇合点 σ 分离点

分离(汇合 点上 分离 汇合)点上 根轨迹的切线与正实轴间的夹角 汇合 点上,根轨迹的切线与正实轴间的夹角

( 2q + 1)π (5 15) 分离角 : θ d= r 式中r为分离点处根轨迹的分 支数, (q = 0,1L r 1)

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规则6 规则6: 根轨迹的出射角和入射角θ pk m n = π + ∑ ∠ pk z j ∑ ∠( pk pi ) j =1 i =1 i≠k

出射角

(

)

入射角

m n θzk = π ∑ ∠ zk z j ∑ ∠(zk pi ) j =1 i =1 j≠k

(

)

规则7 规则7: 根轨迹与虚轴的交点 两法: 用劳斯判据求解; 两法 ①用劳斯判据求解 带入特征方程求解。 ②将 s=jω 带入特征方程求解。

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例5-3 已知开环传递函数K1 试绘制其根轨迹图。 试绘制其根轨迹图。 G( s)H ( s) = s( s + 1)( s + 2)

解 1. 起点 p1=0, p2= -1, p3= -2, n=3 终点 趋于无穷远处零点 m=0 2. 实轴上 [-1, 0], (-∞, -2] 之间为根轨迹段 (3. 渐近线 n - m = 3 条 倾角 a =σa =( 2q + 1)π = ±60o ,180o 3 (q = 0, 1, 2)

∑ p ∑z交点i =1 i j =1

n

m

j

n m

( 0 1 2) 0 = = 1 3

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K1 =0 4. 分离点 1 + G ( s ) H ( s ) = 1 + s( s + 1)( s + 2)dK 1 K 1 = ( s + 3 s + 2 s ) 令 = ( 3 s 2 + 6 s + 2) = 0 ds3 2

解得 s1= -0.423(分离点) 423(分离点)

s2= -1.58 (略去) 略去)

分离点处对应的K1值应为正实数。 分离点处对应的 值应为正实数。

K 1 = ( s + 3 s + 2 s ) s1 = 0.42 = 0.3853 2

K 1 = ( s + 3 s + 2 s ) s2 = 1.58 = 0.387 (略去) 略去)3 2

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