线面平行证明的常用方法(2)

例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB的重心.

(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；

(2)求S△A′B′C′：?S△ABC .

方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系

（或找空间一组基底）及平面的法向量。

例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为正方形，

，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面侧棱SD⊥底面ABCD

SAD；

分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz．

设A(a， 0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)， a E a，0 ，F2

bEF a，02

ab 0 ， 22 ． 因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向

量为n=（0，1，0） b则：EF n a，02 =0 （ 0，1，0）

因此 EF n

所以EF∥平面SAD．

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