高中数学选修2-1第二章圆锥曲线

高中数学选修2 高中数学选修2-1 第二章 圆锥曲线

椭圆 定义

标准 方程 参数 方程

几何 性质 第二 定义

作图

圆 锥 曲 线 双曲线 定义

标准 方程

几何 性质 第二 定义

作图

抛物线 定义

标准 方程

几何 性质

作图

掌握椭圆的定义， 1、掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单 几何性质及椭圆的参数方程. 几何性质及椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、 2、掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的 简单几何性质. 简单几何性质. 掌握抛物线的定义、 3、掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的 简单几何性质. 简单几何性质. 4、能够根据具体条件利用各种不同的工具画 椭圆、双曲线、抛物线的图形， 椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实 际问题中的初步应用. 际问题中的初步应用.

椭圆 圆 锥 曲 线

定义 标准方程

双曲线几何性质

抛物线

直线与圆锥曲线 的位置关系

椭圆的定义： 椭圆的定义：

| MF1 | + | MF2 |= 2a, (2a >| F1 F2 |)

双曲线的定义： 双曲线的定义： || MF1 | | MF2 ||= 2a, (0 < 2a <| F1 F2 |) 圆锥曲线的统一定义： 圆锥曲线的统一定义：动 M 一 定 F的 离 它 一 定 线的 离 比 点 与 个 点 距 和 到 条 直 l 距 的 是 数e, 常 l d .M

l

d

.M .F

l

d.M

.

.e >1

F

F

0 <e <1

e =1

定点是焦点，定直线叫做准线，常数e是离心率 .

椭圆的标准方程： 椭圆的标准方程：

x y + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b双曲线的标准方程： 双曲线的标准方程：

2

2

y x + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b

2

2

x2 y2 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b抛物线的标准方程： 抛物线的标准方程：

y2 x2 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b

y2 = ±2px ( p > 0)

x = ±2py ( p > 0)2

l

椭 圆l

d

.

.M

范围

F

对称性

d

抛 物 线

.M .F

顶点 离心率

焦点、准线l

双 曲 线

d.M

.

焦半径渐进线(双曲线)

F

直线与圆锥曲线的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系： 直线与圆锥曲线的交点 △ 0

(相交、相切和相离) | AB|= 1+ k | a|2

直线与圆锥曲线的弦长

(过焦点)

直线与圆锥曲线的弦中点

韦达定理 或点差法

椭圆的参数方程： 椭圆的参数方程：

x = a cosθ 1.焦点在 轴： 焦点在x轴 焦点在 (θ为参数) y = b sinθ x = b cosθ 2.焦点在 轴： 焦点在y轴 焦点在 (θ为参数 ) y = a sinθ

4.椭圆的焦半径公式 椭圆的焦半径公式: 椭圆的焦半径公式

x2 y 2 (1)在椭圆 在椭圆 的 + 2 = 1(a > b > 0) 上，点M(x0,y0)的 a2 b左焦半径为|MF1|=a+ex0, 左焦半径为 右焦半径为|MF2|=a-ex0 右焦半径为

y 2 x2 (2)在椭圆 在椭圆 的 + 2 = 1(a > b > 0) 上，点P(x0,y0)的 2 a b下焦半径为|PF 下焦半径为 1|=a+ey0, 上焦半径为|PF 上焦半径为 2|=a-ey0

Y

l1P

l2B2

A

1 Q

F1 O B1

F2

A2

X

1. A F = A F = a + c,2. A F = A F = a c 1 2 2 1 11 2 2 2a 3.l1 l2的 离 = 到 距 d ,4. PF F 的 长= 2a + 2c 1 2 周 c 5. PQF 的 长= 4a,6.S B2F F2 = S B B2F = bc 2 周 1 1 12

四、几个重要结论： 几个重要结论： 设P是椭圆 是椭圆 圆的焦点， 圆的焦点，∠F1PF2=θ,则 θ则 1、当P为短轴端点时， 、 为短轴端点时， 为短轴端点时 S△PF1F2有最大值=bc 有最大值 2、当P为短轴端点时，∠F1PF2为最大 、 为短轴端点时， 为短轴端点时 3、椭圆上的点A1距F1最近，A2距F1最远 、椭圆上的点 最近， 4、过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短 、过焦点的弦中，A1

x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 上的点， 2 上的点，F1,F2是椭 a bB2 P

F1 B1

F2

A2

x

1.双曲线的定义 双曲线的定义 (1)双曲线的第一定义：平面内与两个定点 1、F2的距 双曲线的第一定义： 双曲线的第一定义 平面内与两个定点F 离差的绝对值是常数(小于 小于|F 离差的绝对值是常数 小于 1F2|)的点的轨迹叫做双曲 的点的轨迹叫做双曲 线? (2)双曲线的第二定义： 平面内到一个定点 的距离和 双曲线的第二定义： 双曲线的第二定义 平面内到一个定点F的距离和 到一条定直线l的距离比是常数 的距离比是常数e(e> 的点的轨迹叫做 到一条定直线 的距离比是常数 >1)的点的轨迹叫做 双曲线? 双曲线? 2.双曲线标准方程的两种形式 . x2/a2-y2/b2=1, -x2/b2+y2/a2=1(a、b>0) > 分别表示中心在原点、焦点在x轴 轴上的双曲线 轴上的双曲线? 分别表示中心在原点、焦点在 轴、y轴上的双曲线?

3.双曲线的几何性质：以 .双曲线的几何性质： x2/a2-y2/b2=1(a、b>0)表示的双曲线为例，其几 表示的双曲线为例， > 表示的双曲线为例 何性质如下： 何性质如下： (1)范围：x≤-a,或x≥a 范围： 范围 ， (2)关于 轴、y轴、原点对称， 关于x轴 轴 原点对称， 关于 (3)两顶点是 ±a,0)(4)离心率 两顶点是(± 两顶点是 离心率 e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为 ∈ 渐近线方程为 y=±bx/a,准线方程是 ±a2/c ± ,准线方程是x=±

4.双曲线的焦半径公式 . (1)双曲线 2/a2-y2/b2=1上一点 0,y0) 双曲线x 上一点P(x 双曲线 上一点 的左焦半径为|PF 的左焦半径为 1|=|ex0+a|;右焦半径 ； 为|PF2|=|ex0-a| (2)双曲线 2/b2+y2/a2=1上一点 0,y0) 双曲线-x 上一点P(x 双曲线 上一点 的下焦半径为|PF 的下焦半径为 1|=|ey0+a|,上焦半径 ， 为|PF2|=|ey0-a|

5.双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐近线方程 .双曲线 的渐近线方程 为x2/a2-y2/b2=0;双曲线 2/a2-y2/b2=1的 ；双曲线x 的 共轭双曲线为x 共轭双曲线为 2/a2-y2/b2=-1. 6.实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴 实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴 双曲线，记作： 双曲线，记

作：x2-y2=k (k ≠ o)

1.抛物线的定义：平面内到定点F 抛物线的定义：平面内到定点 抛物线的定义 与到定直线l的距离之比为 的距离之比为1的点的 与到定直线 的距离之比为 的点的 轨迹叫做抛物线? 轨迹叫做抛物线? 2.抛物线标准方程的四种形式 抛物线标准方程的四种形式: 抛物线标准方程的四种形式 y2=2px , y2=-2px , x2=2py , x2=-2py,(p>0) , > 分别表示焦点在x轴上 开口向右、 轴上， 分别表示焦点在 轴上，开口向右、 开口向左，和焦点在y轴上 轴上， 开口向左，和焦点在 轴上，开口 向上、 向上、开口向下的抛物线

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