相似知识点复习以及试题(2)

用符号语言表示：

AD BE CF AB BC DE DF ??=?=?. C E D

B A

重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.

重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.

知识点三：相似三角形

1、相似三角形

1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。

4）判定：①、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②、三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

直角三角形相似判定定理:

○1、斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

射影定理：

CD2=AD·BD，

AC2=AD·AB，

BC2=BD·BA

（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

补充二：三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形的性质

①、相似三角形对应角相等、对应边成比例.

②、相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).

③、相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.

2、相似的应用：位似

1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：①、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

②、两个位似图形的位似中心只有一个。

③、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④、位似比就是相似比。

2）性质：①、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

②、位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。

③、每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。

相似测试1

一、填空题。

1、已知线段a, b, c, d 满足d

c b a =其中a=2cm , b=4cm ,c=5cm,则d= . 2、若==-b

a a

b a 则,73 。 3、边长为12cm 的等边三角形按2:1的比例缩小后的三角形是边长为_____的____三角形.

4、已知△ABC ∽△DEF, AB ＝6 , DE ＝8 , 则＝________.

5、点P 是△ABC 中AB 边上的一点,过点P 作直线 (不与直线AB 重合)截△ABC,使截得 三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线最多________条.

6、电视节目主持人在主持节目时,站在舞台上的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB 长为 20m,试计算主持人应走到离A 点至少____________________m 处.(结果精确到0.1m)

7、一个4米高的电线杆的影长是6米,它临近的一个建筑物的影长是36米.则这个建筑的 高度是_________.

8、如图,若DE ∥BC,FD ∥AB,AD ∶AC ＝2∶3 ,AB ＝9,BC ＝6,则四边形BEDF 的周长为 。

:ABC DEF S S ??图2

二、选择题。

1、若果,则下列比例式中不正确的是( )

A. B. C. D. 2、已知:如图2,在△ABC 中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是( )

A. B. C. D. 3、已知正五边形ABCDE 与正五边形的面积比为1:2，则它们的相似比为（ ）

A. 1:2

B. 2:1

C.

4、如图,两个位似图形△ABO 和△'''O B A ，若OA:＝3:1,则正确的是( )

A.AB:＝3:1

B.:＝AB:

C.OA:=2:1

D.∠A ＝∠

5、在比例尺是1:3800的长沙交通游览图上,长约7cm 的一段路程,它的实际长度约为( )

A.0.266km

B.2.66km

C.26.6km

D.266000km

6、下列判断正确的是( )

A.不全等的三角形一定不是相似三角形

B.不相似的三角形一定不是全等三角形

C.相似三角形一定不是全等三角形

D.全等三角形不一定是相似三角形

7、如图, D 、E 是AB 的三等分点, DF ∥EG ∥BC , 图中三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3( )

A.1:2:3

B.1:2:4

C.1:3:5

D.2:3:4

8、在同一时刻的阳光下,小明的影子比小强的影子长,那么在同一路灯下( )

A.小明的影子比小强的影子长

B.小明的影子比小强的影子短

C.小明的影子和小强的影子一样长

D.无法判断谁的影子长 mn ab =a n m b =a m n b =m n a b =m b a n

=AD AE AB

AC =AE AD BC BD =DE AE BC AB =DE AD BC DB

='''''A B C D E 'OA ''A B 'AA 'BB 'AB 'OB 'B

9、把△ABC 的各边都扩大为原来的2倍，得到△,下面结论不正确的是( )

A.、 △ABC ∽△

B 、△AB

C 和△的各边、各角对应相等

C 、△ABC 和△的相似比为1:2

D 、△ABC 和△的相似比为1:3

10、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

三、解答题。

1、如图,在△ABC 中,∠C=90°,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F.求证: △DEH ～△BCA

2、如图, 平行四边形ABCD 中,点E 是DC 中点, 连AE 并延长与BC 延长线交于点F, 若＝10 , 求四边形ABCE 的面积。

\

'''A B C '''A B C '''A B C '''A B C '''A B C CEF S

四、提高题。

已知如图,平行四边形ABCD 中,AE:EB ＝1:2 .

(1)、求AE:DC 的值.

(2)、△AEF 与△CDF 相似吗?若相似,请说明理由,并求出相似比.

(3)、如果＝6cm 2,求

相似测试2

1、从下面这些三角形中，选出相似的三角形．

AEF S ?CDF S

?

2、已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2cm 6=?AEF S ，求CDF S ?．

3、如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?．

4、下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？

（1）所有的直角三角形都相似；（2）所有的等腰三角形都相似；

（3）所有的等腰直角三角形都相似；（4）所有的等边三角形都相似。

5、如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．

6、如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

7、如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为

1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．

8、格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．

9、根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由：

（1）、

,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．

（2）、?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ．

（3）、?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．

10、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

11、 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似

的关系说明AC DC AD ?=2．

12、已知ABC ?的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''?的最大边长为26，求C B A '''?的面积S ．

13、在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．

14、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？

15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H 处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）

2，AC＝2，BC边上的高AD＝3．

16 如图，已知△ABC的边AB＝3

（1）求BC的长；

（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．

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