相似知识点复习以及试题

相似三角形知识点

一、考点分析与例题分析

1、 线段的比

1）比例的合比性质，比例的等比性质

2）线段求比需注意：单位要统一

2、 黄金分割

1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果

AC BC AB AC ，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，

AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB

AC ≈0.618。 2）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。

3、 相似多边形

性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。（可与定义互推）

1、如果四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′相似，且∠A=68°，则∠A ′= 。

2、下列说法中正确的是（ ）

A 、所有的矩形都相似

B 、所有的正方形都相似

C 、所有的菱形都相似

D 、所有的等腰梯形都相似

3、已知，ABCDE ∽五边形FGHIJ ，且AB=2cm ，CD=3cm ，DE=2.2cm ，GH=6cm ，HI =5cm ，FJ=4cm ， ∠A=120°，∠H=90°。求:(1)相似比等于多少 (2)求FG,IJ,BC,AE, ∠F, ∠C

4、 相似三角形

1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相

似三角形。如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。相似比为k 。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成

的三角形与原三角形相似。

参照三角形全等的判定方法：

③两角对应相等的两个三角形相似。 A B C D

E

F G H I J

④三边对应成比例的两个三角形相似。

⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

1、下列各组三角形一定相似的是（ ）

A ．两个直角三角形

B ．两个钝角三角形

C ．两个等腰三角形

D ．两个等边三角形

2、如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，写出对应边的比例式。

3、如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE =50 cm ，EC =30 cm ，BC =70 cm ，∠BAC =45°，

∠ACB =40°，求：1）∠AED 和∠ADE 的度数；2）DE 的长。

5、 相似多边形的周长比和面积比

关系：若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积

比为k 2。

6、 位似

1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图

形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，

而相似图形不一定是位似图形。

②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比。

2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一

对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。

③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。

练习设计

1、△ABC 与△DEF 相似，且相似比是3

2，则△DEF 与△ABC 与的面积比是（ ） A 、32 B 、23 C 、52 D 、94

2、如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF 。

3、已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD ?AD ，求证：△ADC ∽△CDP 。

4、已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD ?AD ，求证：△ADC ∽△CDP ．

5、如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别在AB 、BC 边上，且AE=CF 、BG ⊥CE 于G 。试证明DG ⊥FG 。

中考热点

1．比例的基本性质

[例1]．已知52a b =，则a b b

-=＿＿＿＿＿。 2．相似图形的性质 [例2]．在△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AD =1，DB =2，则△ADE 与△ABC 的面积比为____________. 3．相似三角形的判定 [例3]．如图9，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，请你添加一个条件，使△ADE 与△ABC 相似．你添加的条件是

[例4]．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )

A

B

C D

E

图9

[例5]．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，D 、G 分别在边AB 、AC 上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.

〖考题训练〗

1．如果a b ＝23 ，那么a a ＋b

＝＿＿＿＿＿。 2．已知：如图2，在△ABC 中，∠A DE ＝∠C ，则下列等式成立的是（ ） A. AD AB ＝AE AC B. AE BC ＝AD BD C. DE BC ＝AE AB D. DE BC ＝AD AB

〖课后作业〗 ①．若a b ＝35 ，则a ＋b b 的值是( ) A 、85 B 、35 C 、32 D 、58

③．如果两个相似三角形对应高的比是1：2，那么它们的面积比是 。 ④．如图，D 、E 两点分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为合适的条件： ，使得△ADE ∽△ABC.

⑤．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC ，如果AD ＝2，DB ＝4，AE ＝3，那么EC ＝

⑥．在下列命题中，真命题是 （ ）

A 、两个钝角三角形一定相似

B 、两个等腰三角形一定相似

C 、两个直角三角形一定相似

D 、两个等边三角形一定相似

⑦．矩形ABCD 中,M 是BC 边上且与B 、C 不重合的点,点P 是射线AM 上的点,若以A 、P 、D

为顶点的三角形与△A BM 相似,则这样的点有 个.

⑧．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，F 是CD 的中点，一束光线从A 点出发，通过BC 边反射，恰好落在F 点（如图），那么，反射点E 与C 点的距离为＿＿＿＿＿＿。

D A B C H

E G F

A B

D C

E A D B

C D C E F

相似知识总结

知识点一：放缩与相似形

1、图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2、把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴、相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵、相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶、我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

⑷、若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

1.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质

（1）有关概念

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n

m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如

d c b a = 4、比例外项：在比例d

c b a =（或a ：b ＝c ：

d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d

c b a =（或a ：b ＝c ：

d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d

c b a =（或a ：b ＝c ：

d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为d

b b a =（或a:b ＝b:d 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8、比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d

c b a =（或a ：b=c ：

d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

（2）比例性质

1、基本性质:

bc ad d

c b a =?=（两外项的积等于两内项积） 2、反比性质：c

d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3、更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=??，

交换内项，交换外项．同时交换内外项

4、合比性质：d

d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） ．

注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+--=-?=d

c d

c b a b a c c

d a a b d c b a ． 5、等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b n

m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)、此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法；(2)、应用等比性质时，要考虑到分母是否为零；(3)、可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

知识点三：黄金分割

1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果

AC BC AB AC =， 即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2

15-=≈0.618AB 。 2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.

作法：①、过点B 作BD ⊥AB ，使AB BD 2

1=； ②、连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；

③、在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为： 2

15-==AC BC AB AC （只要求记住）。

3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。

知识点四：平行线分线段成比例定理

(一)平行线分线段成比例定理

1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.

例、 已知1l ∥2l ∥3l ，

可得DF

DE AC AB EF DE BC AB ==或。 2、推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

（1）是“A ”字型

（2）是“8”字型

经常考，关键在 A B D E C F

1

l 2l

3l

图(1)：DE ∥BC 可得：BC

DE AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ====或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. 图(2)：DE ∥BC 可得：

AB DA AC EA BC ED ==. 3、推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)

4、定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．

对应成比例. 5、平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。

三角形一边平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

1．平行线分线段成比例定理：

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.

用符号语言表示：AD ∥BE ∥CF,,,AB DE BC EF AB DE BC EF AC DF AC DF

∴===. 2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.

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