【步步高】2014届高考数学一轮复习 §1.2 余弦定理(一)备考练习

- 1 - §1.2 余弦定理(一)

一、基础过关

1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为________．

2．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为________．

3．已知△ABC 的三边长分别是2m ＋3，m 2＋2m ，m 2

＋3m ＋3(m ＞0)，则最大内角的度数是

________．

4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于________．

5．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且∠C ＝60°，则ab 的

值为________．

6．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.

7．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.

(1)求角C 的度数；

(2)求AB 的长；

(3)求△ABC 的面积．

8．设2a ＋1，a ，a －1为钝角三角形的三边，求a 的取值范围．

二、能力提升

9．如图，CD ＝16，AC ＝5，∠BDC ＝30°，∠BCA ＝120°，则AB ＝

________.

10．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2

C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 11．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形是________三角形．

12．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长．

三、探究与拓展

13．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213

. (1)求AB →·AC →；

(2)若c －b ＝1，求a 的值．

答案

1．120° 2.60° 3.120° 4.34 5.43

6．30° 7．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]

＝－cos(A ＋B )＝－12

， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.

(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴??

? a ＋b ＝23，ab ＝2.

∴AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°

＝(a ＋b )2－ab ＝10，

- 2 - ∴AB ＝10.

(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32

. 8．解 ∵a －1>0，∴a >1，最大边为2a ＋1.

∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(a －1)2<(2a ＋1)2，化简得：a >0. 又∵a ＋a －1>2a ＋1，∴a >2＋ 2.

9.129 10.? ????0，π

3 11.锐角

12．解 由????? a －b ＝4a ＋c ＝2b ，得????? a ＝b ＋4c ＝b －4.

∴a >b >c ，∴A ＝120°，

∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，

即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×? ????－1

2，即b 2

－10b ＝0，

解得b ＝0(舍去)或b ＝10.

当b ＝10时，a ＝14，c ＝6.

13．解 (1)由cos A ＝12

13，得

sin A ＝1－? ????12132＝5

13.

又1

2bc sin A ＝30，∴bc ＝156.

AB →·AC →＝bc cos A ＝156×12

13＝144.

(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A

＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )

＝1＋2×156×? ????1－12

13＝25，

∴a ＝5.

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