高中数学奥林匹克竞赛试题及答案(2)

a＋c＞c?c1，b＋c＞c?c2。所以，k＞1且l＞1．从而，a＋b＋c＋d＝kl为合数．

28 设k1＜k2＜k3＜…是正整数，且没有两个是相邻的，又对于m＝1，2，3，…，S m＝k1＋k2＋…＋k m．求证：对每一个正整数n，区间（S n，S n＋1）中至少含有一个完全平方数．1996年上海高中数学竞赛题

【证】S n＝k n＋k n－1＋…＋k1

所以。又。

从而

A2－001 哪些连续正整数之和为1000？试求出所有的解．1963年成都

【解】设这些连续正整数共n个（n＞1），最小的一个数为a，则有a＋（a＋1）＋…＋（a＋n－1）＝1000

即n（2a＋n－1）＝2000

若n为偶数，则2a＋n－1为奇数；若n为奇数，则2a＋n－1为偶数．因a?1，故2a＋n－1＞n．

同，故只有n＝5，16，25，因此可能的取法只有下列三种：

若n＝5，则a＝198；若n＝16，则a＝55；若n＝25，则a＝28．

故解有三种：198＋199＋200＋201＋202 55＋56＋…＋70 28＋29＋…＋52

A2－002 N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是整数的四次方．1977年加拿大数学奥林匹克【解】设b为所求最小正整数，则7b2＋7b＋7＝x4。素数7应整除x，故可设x＝7k，k为正整数．于是有b2＋b＋1＝73k4当k＝1时，（b－18）（b＋19）＝0．因此b＝18是满足条件的最小正整数．

A2－003 如果比n个连续整数的和大100的数等于其次n个连续数的和，求n．1976年纽约数学竞赛

。s2－s1＝n2＝100 从而求得n＝10．

A2－004 设a和b为正整数，当a2＋b2被a＋b除时，商是q而余数是r，试求出所有数对（a，b），使得q2＋r＝1977．【解】由题设a2＋b2＝q（a＋b）＋r（0?r＜a＋b），q2＋r＝1977，所以q2?1977，从而q?44．

若q?43，则r＝1977－q2?1977－432＝128．

即（a＋b）?88，与（a＋b）＞r?128，矛盾．因此，只能有q＝44，r＝41，从而得

a2＋b2＝44（a＋b）＋41。。。（a－22）2＋（b－22）2＝1009

不妨设|a－22|?|b－22|，则1009?（a－22）2?504，从而45?a?53．

经验算得两组解：a＝50，b＝37及a＝50，b＝7．由对称性，还有两组解a＝37，b＝50；a＝7，b＝50．

A2－005 数1978n与1978m的最后三位数相等，试求出正整数n和m，使得m＋n取最小值，这里n＞m?1．

【解】由题设1978n－1978m＝1978m（1978n－m－1）≡0（mod 1000）

因而1978m≡2m3989m≡0（mod 8），m?3。又1978n－m≡1（mod 125）

而1978n－m＝（1975＋3）n－m≡3n－m＋（n－m）3n－m－121975（mod 125）（1）

从而3n－m≡1（mod 5），于是n－m是4的倍数．设n－m＝4k，则

代入（1）得

从而k（20k＋3）≡0（mod 25）

因此k必须是25的倍数，n－m至少等于4325＝100，于是m＋n的最小值为n－m＋2m＝106，m＝3，n＝103

A2－006求方程x3＋x2y＋xy2＋y3＝8（x2＋xy＋y2＋1）的全部整数解x、y．1980卢森堡数学竞赛

于是x3＋x2y＋xy2＋y3＝（x＋y）3－2xy（x＋y）＝u3－2vu x2＋xy＋y2＝（x＋y）2－xy＝u2－v

从而原方程变为2v（u－4）＝u3－8u2－8 （2）

因u≠4，故（2）即为

根据已知，u－4必整除72，所以只能有u－4＝±2α3β，其中α＝0，1，2，3；β＝0，1，2

进一步计算可知只有u－4＝223＝6，于是u＝10，v＝16

A2－007 确定m2＋n2的最大值，这里m和n是整数，满足m，n∈｛1，2，…，1981｝，（n2－mn－m2）2＝1．

【解】若m＝n，由（n2－mn－m2）2＝1得（mn）2＝1，故m＝n＝1．

若m≠n，则由n2－mn－m2＝±1得n＞m．令n＝m＋u k，于是[（m＋u k）2－m（m＋u k）－m2]2＝1

于是有

若u k≠u k－1，则以上步骤可以继续下去，直至

得到数列：n，m，u k，u k－1，…，u k－l，u k－l－1 此数列任意相邻三项皆满足u i＝u i－1＋u i－2，这恰好是斐波那契型数列．

而{1，2，…，1981}中斐氏数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，可见m＝987，n＝1597时，m2＋n2＝3524578为满足条件的最大值．

A2－008 求方程w！＝x！＋y！＋z！的所有正整数解．1983年加拿大数学奥林匹克

【解】不妨设x?y?z．显然w?z＋1，因此（z＋1）！?w！＝x！＋y！＋z！?32z！

从而z?2．通过计算知x＝y＝z＝2，w＝3是原方程的唯一解．

A2－009 求满足下式的所有整数n，m：n2＋（n＋1）2＝m4＋（m＋1）41984年匈牙利数学竞赛

【解】由原式得n（n＋1）＝m（m＋1）（m2＋m＋2）

设m2＋m＝k，我们有n（n＋1）＝k（k＋2）．显然，只可能两边为零．解是（0，0），（0，－1），（－1，0），（－1，1）．A1－010 前1000个正整数中可以表示成[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]的正整数有多少个？1985年美国数学邀请赛

【解】令f（x）＝[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]．

个不同的正整数值．

另一方面f（x＋n）＝f（x）＋20n对任一正整数n成立．将1－1000分为50段，每20个为1段．每段中，f（x）可取12个值．故总共可取到50312＝600个值，亦即在前1000个正整数中有600个可以表示成[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]的形式．

A2－011 使n3＋100能被n＋10整除的正整数n的最大值是多少？1986年美国数学邀请赛题

【解由n3＋100＝（n＋10）（n2－10n＋100）－900知，若n3＋100被n＋10整除，则900也应被n＋10整除．故n最大值是890．

A12 a、b、c、d为两两不同的正整数，并且a＋b＝cd，ab＝c＋d求出所有满足上述要求的四元数组a、b、c、d．1987匈牙利【解】由于a≠b，所以当且仅当a＝1或b＝1时，才有a＋b?ab．

如果a、b都不是1，那么c＋d＝ab＞a＋b＝cd由此知c＝1或d＝1．

因此a、b、c、d中总有一个（也只有一个）为1．如果a＝1，那么由消去b可以推出

从而得到c＝2，d＝3，或者c＝3，d＝2．这样，本题的答案可以列成下

A2－013设[r，s]表示正整数r和s的最小公倍数，求有序三元正整数组（a，b，c）的个数，其中[a，b]＝1000，[b，c]＝2000，[c，a]＝2000．1987年美国数学邀请赛

【解】显然，a、b、c都是形如2m25n的数．设a＝2m125n1，b＝2m225n2，c＝2m325n3．

由[a，b]＝1000＝23253，知max（m1，m2）＝3，max（n1，n2）＝3．同理，max（m2，m3）＝4，max（n2，n3）＝3；max （m1，m3）＝4，max（n1，n3）＝3．由此，知m3应是4，m1、m2中必有一是3．另一个可以是0、1、2或3之任一种，因此m1、m2的取法有7种．又，n1、n2、n3中必有两个是3，另一个可以是0、1、2或3．因此n1、n2、n3取法有10种．故m i、n i （i＝1、2、3）不同取法共有7310＝70种，即三元组共有70个．

A2－014 设m的立方根是一个形如n＋r的数，这里n为正整数，r为小于1/1000的正实数．当m是满足上述条件的最小正整数时，求n的值．1987年美国数学邀请赛

m＝n3＋1＜（n＋10－3）3＝n3＋3n2210－3＋3n210－6＋10－9于是从而n＝19（此时m＝193＋1为最小）．

1987年）全俄数学奥林匹克【解】144＝122，1444＝382

设n＞3，则则k必是一个偶数．所以

也是一个自然数的完全平方，但这是不可能的．因为平方数除以4，

因此，本题答案为n＝2，3．

A2－016 当n是怎样的最小自然数时，方程[10n/x]＝1989有整数解？1989年全苏数学奥林匹克

【解】1989?10n/x＜1990所以10n/1990＜x?10n/1989。即10n20.000502512…＜x?10n20.000502765…

所以n＝7，这时x＝5026与5027是解．

A2－017 设a n＝50＋n2，n＝1，2，…．对每个n，a n与a n＋1的最大公约数记为d n．求d n的最大值．1990年日本

【解】d n＝（a n，a n＋1）＝（50＋n2，50＋（n＋1）2－（50＋n2））＝（50＋n2，2n＋1）＝（2（n2＋50），2n＋1）（因2n＋1是奇数）＝（2（n2＋50）－n（2n＋1），2n＋1）＝（100－n，2n＋1）＝（100－n，2n＋1＋2（100－n））＝（100

－n，201）?201。在n＝100≠201k（k∈N）时，d n＝201．故所求值为201．

A2－018 n是满足下列条件的最小正整数：（1）n是75的倍数；（2）n恰为75个正整数因子（包括1及本身）．试求n/75．【解】为保证n是75的倍数而又尽可能地小，可设n＝2α23β25γ，其中α?0，β?1，γ?2，并且

（α＋1）（β＋1）（γ＋1）＝75

由75＝5223，易知当α＝β＝4，γ＝2时，符合条件（1）、（2）．此时n＝24234252，n/75＝432．

A2－019 1．求出两个自然数x、y，使得xy＋x和xy＋y分别是不同的自然数的平方．

2．能否在988至1991范围内求到这样的x和y？1991年全苏数学奥林匹克

【解】1．例如x＝1，y＝8即满足要求．

2．假设988?x＜y?1991，x、y∈N，使得xy＋x与xy＋y是不同的自然数的平方，则x2＜xy＋x＜xy＋y

这时y－x＝（xy＋y）－（xy＋x）＞（x＋1）2－x2＝2x＋1即y＞3x＋1

由此得1991?y＞3x＋1?33998＋1矛盾！故在988与1991之间不存在这样的自然数x、y．

A2－020 求所有自然数n，使得这里[n/k2]表示不超过n/k2的最大整数1991年中国数学奥林匹克【解】题给条件等价于，对一切k∈N，k2＋n/k2?1991 （1）

且存在k∈N，使得k2＋n/k2＜1992．（2）

（1）等价于对一切k∈N，k4－1991k2＋n?0即（k2－1991/2）2＋n－19912/4?0 （3）

故（3）式左边在k取32时最小，因此（1）等价于n?19913322－324＝10243967

又，（2）等价于存在k∈N，使（k2－996）2＋n－9962＜0

上式左边也在k＝32时最小，故（2）等价于n＜19923322－324＝10243968

故n为满足10243967?n?10243967＋1023的一切整数．

A2－021 设n是固定的正整数，求出满足下述性质的所有正整数的和：在二进制的数字表示中，正好是由2n个数字组成，其中有n个1和n个0，但首位数字不是0．1991年加拿大数学奥林匹克题2．

【解】n＝1，易知所求和S1＝2．n?2时，首位数字为1的2n位数，在其余2n－1位上，只要n个0的位置确定了．则n－1

个1的位置也就确定了，从而这个2n位二进制数也随之确定．

现考虑第k（2n＞k?1）位数字是1的数的个数．因为其中n个0的位置只可从2n－2个位置（除去首位和第k位）中选择，故

这样的将所有这样的2n位二进制数相加，按数位求和，便有

A2－022 在{1000，1001，1002，…，2000}中有多少对相邻的数满足下列条件：每对中的两数相加时不需要进位？

7或8时，则当n和n＋1相加时将发生进位．再若b＝9而c≠9；a＝9而b≠9或c≠9．则当n和n＋1相加时也将发生进位．如果不是上面描述的数，则n有如下形式

其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}．对这种形式的n，当n和n＋1相加时不会发生进位，共有53＋52＋5＋1＝156个这样的n．

A2－023 定义一个正整数n是一个阶乘的“尾”，如果存在一个正整数m，使得m！的十进位制表示中，结尾恰好有n个零，那么小于1992的正整数中有多少个不是阶乘的尾？1992年美国数学邀请赛

【解】f（m）为m！的尾．则f（m）是m的不减函数，且当m是5的倍数时，有f（m）＝f（m＋1）＝f（m＋2）＝f（m＋3）

＝f（m＋4）＜f（m＋5）因此，从f（0）＝0开始，f（m）依次取值为：0，0，0，0，0；1，1，1，1，1；2，2，2，2，2；3，3，3，3，3；4，4，4，4，4；6，6，6，6，6；…；1991，1991，1991，1991，1991

容易看出

如果存在m使f（m）＝1991，则

因而m＞431991＝7964．由公式（1）可计算出f（7965）＝1988，从而f（7975）＝1991．

在序列（1）中共有7980项，不同的值有7980/5＝1596个．所以在{0，1，2，…，1991}中，有1992－1596＝396个值不在（1）中出现．这就说明，有396个正整数不是阶乘的尾．

A2－024 数列{a n}定义如下：a0＝1，a1＝2，a n＋2＝a n＋（a n＋1）2．求a1992除以7所得的余数．1992年日本数学奥林匹克【解】考虑a n以7为模的同余式：a0＝1≡1（mod 7）a1＝2≡2（mod 7）a1＝1＋22＝5≡－2（mod 7）a3≡2＋（－2）2＝6≡－1（mod 7）a4≡－2＋（－1）2＝－1（mod 7）

a5≡－1＋（－1）2＝0（mod 7）a6≡－1＋02＝－1（mod 7）a7≡0＋（－1）2＝1（mod 7）

a8≡－1＋12＝0（mod 7）a9≡1＋02＝1（mod 7）

a10≡0＋12＝1（mod 7）a11≡1＋12＝2（mod 7）所以，a n除以7的余数以10为周期，故a1992≡a2≡5（mod 7）．

A2－025 求所有的正整数n，满足等式S（n）＝S（2n）＝S（3n）＝…＝S（n2）

其中S（x）表示十进制正整数x的各位数字和．1992年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克

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