【新课标】书稿(14编)第九编 解析几何

1

第九编 解析几何 §9.1直线的倾斜角与斜率

1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则

（ ）

A .0°≤α＜180°

B .0°≤α＜135°

C .0°＜α≤135°

D .0°＜α＜135°

答案 D

2.（20082全国Ⅰ文，4）曲线y =x 3

-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为

（ ）

A .30°

B .45°

C .60°

D .120°

答案 B

3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为

（ ）

A .1

B .4

C .1或3

D .1或4

答案 A

4.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率取值范围是

（ ）

A .［0，+∞）

B .（-∞，+∞）

C .［-1，+∞）

D .（-∞,-1）∪［0，+∞）

答案 D

5.若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-3

2

的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -3

2

例1 若α∈??

?

???2,6ππ，则直线2x cos α+3y +1=0的倾斜角的取值范围是

( )

A .??????26ππ，

B .??

?

???ππ，65 C .??

?

???6,0π

D .??

????65,2ππ 基础自测

2

答案 B

例2（12分）已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2

-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.

解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;

2分

当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a

-11-(a +1), l 1∥l 2???

???+-≠--=

-)1(3112a a a ，解得a =-1,

5分

综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分

方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-132=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2

-1)-136≠0, 2分

∴l 1∥l 2???

???≠?--=?--061)1(0

21)1(2a a a a

4分

??????≠-=--6

)1(0

222a a a a ?a =-1,

5分

故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 6分

（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 8分

当a ≠1时，l 1:y =-2

a

x -3, l 2:y =

x a

-11

-(a +1), 10分

3 由??? ??-2a 2a -11=-1?a =32. 12分

方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，

得a +2(a -1)=0?a =3

2. 12分 例3 已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：23

++x y 的最大值与最小值.

解 由23

++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段

AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB ,

由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34

≤k ≤8， 故23++x y 的最大值为8，最小值为34

.

1.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是

（ ） A .???

?????

???65,22,6ππππ B .???

??????

???πππ,656,0

C .???

???65,0π D .???

???65,6ππ

答案 B

2.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2:

（1）相交？（2）平行？（3）垂直？

解 m=-5时，显然，l 1与l 2相交；

当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为

k 1=-43m

+，k 2=-m +52

，

它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m

-，b 2=m +58

.

（1）由k 1≠k 2,得-43m

+≠-m +52

，

m ≠-7且m ≠

-1.

4

∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.

（2）由???≠=,,2121b b k k ,得???????+≠-+-=+-m m m

m

584355243，m =-7.

∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +2??

? ??

+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-

3

13

时，l 1与l 2垂直. 3.若实数x ,y 满足等式(x -2)2

+y 2

=3，那么

x

y

的最大值为 （ ）

A.2

1 B.

3

3 C.

2

3 D.3

答案 D

一、选择题

1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是

（ ）

A .[)π,0

B .??

????ππ43,4

C .??????-4,4ππ

D .??

??????????πππ,434,0 答案 D

2.已知直线l 过点（a ,1)，（a +1,tan α +1),则 （ ）

A .α一定是直线l 的倾斜角

B .α一定不是直线l 的倾斜角

C .α不一定是直线l 的倾斜角

D .180°-α一定是直线l 的倾斜角

答案 C

3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2

）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是

（ ）

A .[)π,0

B .??

?

????????πππ,24,0

C .??

????4,0π

D .??

? ????????ππππ,22,4 答案 B

4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为

（ ）

5 A .21 B .-21 C .-2 D .2

答案 C

5.若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是（ ）

A .31-

B .-3

C .31

D .3

答案 A

二、填空题

6.（20082浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3

）共线，则a = . 答案 1+2

7.已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）

8.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 .

答案 31 三、解答题

9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围. 解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.

k AP =

1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-

m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤2

1且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点，

∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤2

1. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为

y -1=1212+-(x +1),即y =31x +3

4, 代入x+my +m =0,

整理，得x =-

37+m m . 由已知-1≤-

37+m m ≤

2,

6 解得-32≤m ≤2

1. 10.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m 的值，使得：

（1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合.

解 （1）由已知133≠m (m -2),

即m 2-2m -3≠0,

解得m ≠-1且m ≠3.

故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交.

（2）当12（m -2）+m 23=0，即m =

21时，l 1⊥l 2. (3)当21-m =3m ≠m

26,即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当

21-m =3m =m 26， 即m =3时，l 1与l 2重合.

11.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.

解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0，

∴k AB 2k BC =0≠-1，

即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.

（1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ，

∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3.

又k AD =k BC ，∴x

y 3-=0，即y =3. 此时AB 与CD 不平行.

故所求点D 的坐标为（3，3）.

（2）若AD 是直角梯形的直角边，

则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ，

7 k AD =x y 3-，k CD =3

-x y . 由于AD ⊥AB ，∴

x y 3-23=-1. 又AB ∥CD ，∴3

-x y =3. 解上述两式可得???

????==,59,518y x 此时AD 与BC 不平行.

故所求点D 的坐标为??

? ??59,518, 综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或??

? ??59,518. 12.已知两点A （-1，2），B （m ，3）.

（1）求直线AB 的方程；

（2）已知实数m ∈???

?????---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围.

解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1,

当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=

11+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=2

π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33 ???

?????-， ∴k =

11+m ∈（-∞，-3］∪????????+∞,33， ∴α∈??

? ????????32,22,6ππππ . 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈??

????32,6ππ. §9.2 直线的方程、两直线的交点坐标与距离公式

基础自测

8 1.下列四个命题中真命题是 （ ）

A .经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y -y 0=k （x -x 0）表示

B .经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示

C .不经过原点的直线都可以用方程1=+b y

a x

表示

D .经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示

答案 B

2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（

） A .2x -y -1=0 B .x +y -5=0

C .2x +y -7=0

D .2y -x -4=0

答案 B

3.（20082全国Ⅱ文，3）原点到直线x +2y -5=0的距离为 （

） A .1 B .3 C .2 D .5

答案 D

4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为 ( )

A .2x +y =0

B .x -2y +5=0

C .x -2y =0

D .x +2 y -5=0

答案 A

5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .

答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0

例1 求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍.

解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a

,

9 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2），

∴l 的方程为y =32

x ，即2x -3y =0.

若a ≠0，则设l 的方程为1=+a y

a x

，

∵l 过点（3，2），∴12

3

=+a a ，

∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,

综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0.

方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0,

设直线方程为y -2=k (x -3),

令y =0，得x =3-k 2

,令x =0,得y =2-3k ,

由已知3-k 2

=2-3k ，解得k =-1或k =32

,

∴直线l 的方程为：

y -2=-（x -3）或y -2=32

(x -3),

即x +y -5=0或2x -3y =0.

（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，

则所求直线的倾斜角为2α.

∵tan α=3,∴tan2α=αα

2tan 1tan 2-=-43

.

又直线经过点A （-1，-3），

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