西安交通大学复变函数考试题及解答2

西安交通大学考试题复变函数 (A卷)

一、解答下列各题（每题6分，共60分）

1． 求Ln(?1?i)的值以及相应的主值。

2． 设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为解析函数，求m,n,l的值。

3． 判定函数f(z)?x2?2yi在何处可导，何处解析？

4． 求?e2zdz，其中C为自－i到i的右半圆周。

C

ez?15． 求?dz，其中C为z?2的正向。 3?2zC

3zzcoszedz，其中C为包围0的光滑闭曲线。 6．求??C

7．若幂级数?cnzn的在点z??1?2i条件收敛，求该级数的收敛半径。

n?1?

1的奇点，并指出奇点的类型。

z2(ez?1)?i9．判定级数?2?cosin是否收敛。

n?1n

ez10．求f(z)?2在有限远奇点处的留数。

z?2z

1二（10分）将函数f(z)?在以i为中心的园环域内展开成洛朗级数。

z(1?z)2

??2xsinxdx。 三（10分）用留数计算广义积分?01?x2

114四（10分）判定命题limz4sin?0是否正确，并求?zsindz，其中C为z?1?z?0zzC8．求f(z)?的正向。

五（10分）求一个函数w?f(z)，使得它把右半带形区域

{z0?Imz(??)共形映射成上半平面。 ,zR?e()0}西安交通大学考试试题标准答案与评分标准

一、填空题（每题6分，共60分）

1. 解：Ln(?1?i)?ln?1?i?iArg(?1?i)?ln2?i(??2k?i)（4分） 其主值为ln(??i)?ln2?343?（6分） 42．解: 因为ux?2nxyuy?3my2?nx2vx?3x2?ly2vy?2lxy 要使ux?vyuy??vx 即2nxy?2lxy,3my2?nx2??(3x2?ly2)（5分）

故有m??1,n?l??3（6分）

3．解：因为u(x,y),v(x,y)均可微，且ux?2x,uy?0,vx?0,vy??2 要使ux?vyuy??vx，只有x??1 （4分）

故当x??1时f(z)可导，但在整个复平面处处不解析。（6分） 4．解：由于e2z在复平面上解析，它的积分与路径无关，故 （3分）

12zi12i?2i2zedz?e|?i?(e?e)?isin2 （6分） ??22C5．解：因为被积函数在整个复平面解析，由Cauchy-Gourst定理知 3zzcoszed＝z0 （6分） ??Cez?16．解：因为f(z)?在复平面解析，由高阶导数公式有

22!ez?11z1(2)，（5分） dz?f(0)?e|?z?03??2?iC2z22?iez?1所以?＝（6分） dz3?22zC7． 解：因为?cnzn在z??1?2i收敛，故由Abel定理知当z??1?2i?5时n?1?的

级数都绝对收敛，所以收敛半径R?5，（3分）若R?5则z??1?2i时的级数为绝对收敛，这与已知为条件收敛矛盾。故R?5。（6分）

11z?2k?ig(z)?(k?Z)的二级极点，为的一级

z2ez?11极点，其中当k?0时，z?0为g(z)?z的一级极点，故z?0为

e?18．解：由于z?0为?(z)?f(z)?11z?2k?i的三级极点；（4分）为的(k?Z,k?0)f(z)?z2(ez?1)z2(ez?1)一级极点。（6分）

9．解：函数有两个有限远奇点0、2，它们都是函数的一级极点。（2分）

ez1eze2,0]|，|z?2??（6分） Resf[z()?（4分）Res[f(z),2]? z?0??2z?222z?22?en?e?n10．解：因为cosin?，所以limcosin???，那么?cosin发散。（4分）

2n?1 因此原级数发散。（6分） 二．解：(1)当0?z?1

??1111n?()?，因为又由所以 ??z,z?1，??nzn?1,z?1….422(1?z)1?z1?zn?0(1?z)n?0分

11?n?1?n?1?n因此 （6分） ?nz?nz?(n?2)z???2z(1?z)zn?0n?1n??1?11n?111?n(), (2)当1?z??? ，（8分） 由(1)知???211z(1?z)(1?)2n?0zz3(1?)2zz??111 因此（10分） ??n??(n?2)??2n?2nz(1?z)zzn?0n?3三．解：记I??????0??xsinx2xsinxdx，故I??dx。（1分）

??1?x21?x2xeixzeizzeiz?idx?2?iRes[,i]?2?i|?因为? ，（8分） 故 z?i??1?x21?z22ze I??

????ix??xexsinx?dx?Im(dx)? （10分） 22???1?x1?xe1四．解：若命题正确则z?0为函数f(z)?z4sin的可去奇点。而事实上

z11111111?z4(???.?...)， zz3!z35!z57!z71其中含有无穷多项负幂项，故知z?0为函数f(z)?z4sin的本性奇点，所以命

z题是错误的。 （5分）

0?z???，f(z)?z4sin11?i4。（10分） zsindz?2?ic?2?i??1??z5!60C五．解：第一步利用指数函数 （3?1?ez使得左半带形区域映射为上半单位圆盘；

分）

第二步利用分式线性映射?2??分）

第三步利用幂函数???22将此区域映射为上半平面；（9分）

?ez?1?所求函数可为???z?（10分）

?e?1?

2?1?1将上半圆盘映射为角形区域第一象限；（6?1?1

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