2017年江苏省高考数学试卷(word)(4)

（2）f（x）=∵x∈[0，π]， ∴x+

∈[

，

=3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），

]， ）≤

，

∴﹣1≤cos（x+

当x=0时，f（x）有最大值，最大值3， 当x=

时，f（x）有最小值，最大值﹣2

．

【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题

17．（14分）（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

=1（a＞b＞0）

的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2． （1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；

（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标； 【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①

，则2×

=8，

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椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②

由①②解得：a=2，c=1， 则b2=a2﹣c2=3， ∴椭圆的标准方程：

；

（2）设P（x0，y0），则直线PF2的斜率

=，

则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣

（x﹣1），

直线PF1的斜率

=，

则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣

（x+1），

联立，解得：

，则Q（﹣x0，

），

由Q在椭圆上，则y0=

，则y02=x02﹣1，

则，解得：，则，

又P在第一象限，所以P的坐标为： P（

，

）．

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【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．

18．（16分）（2017?江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10

cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，

E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．

【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．

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（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度． 【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N， 在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P， ∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD， 又∵AC?平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC， ∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm， ∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC， ∴

=

，

，得AN=16cm．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．

（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N， 在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P， 过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，

∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1， EG≠E1G1，

∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图， ∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm， ∴E1Q=24cm，

由勾股定理得：E1E=40cm，

∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos根据正弦定理得：

=

，∴sin

， ，cos

，

∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=， ∴EN=

=

=20cm．

∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．

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【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

19．（16分）（2017?江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣

1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数

n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．

（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；

（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列． 【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；

（2）由“P（k）数列”的定义，则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，变形整理即可求得2an=an﹣1+an+1，即可证明数列{an}是等差数列．

【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d， 则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，

=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）， =2an+2an+2an， =2×3an，

∴等差数列{an}是“P（3）数列”；

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