-新人教[全套]高考数学总复习精品资料高中数学知识汇总(4)

b????????23.两非零向量平行(共线)的充要条件a//b?a??b ?(a?b)?(|a||b|)2

?x1x2?y1y2?0.

???????? 两个非零向量垂直的充要条件a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|

?x1x2?y1y2?0.

特别：零向量和任何向量共线. a??b是向量平行的充分不必要条件!

4.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a=?1e1＋?2e2.

???????? AC共线； 5.三点A、B、C共线?AB、、向量PA、 PB、 PC中三终点A、B????????????C共线?存在实数?、?使得：

????????????PA??P?B?P????1. 且

????????226.向量的数量积：|a|?(a)?a?a，a?b?|a||b|cos??x1x2?y1y2，

|AB|?1?1k2|y1?y2|?1?1k2??y|a|)或“小小直角三角形”. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.

4.要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等)，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

九、直线、平面、简单多面体

1.计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角，或建立空间坐标系转化为空间向量的夹角计算

????2222(|a|?(a)?x?y?z、a?b?(x1?x2,y1?y2,z1?z2)、

???a?b?x1x2?y1y2?z1z2、?a?(?x1,?y1,?z1)(??R)、 ????a//b(b?0)?x1??x2,y1??y2,z1??z2,(??R), ??a?b?x1x2?y1y2?z1z2?0.

特别：A?(x1,y1,z1)，B?(x2,y2,z2),

????????????则AB?OB?OA?(x2,y2,z2)- (x1,y1,z1)=(x2?x1,y2?y1,z2?z1). ?? cos?a,b??????|AB|?????2(AB)?x1x2?y1y2?z1z2x?y?z212121 ，

22x?y?z22222(x1?x2)?(y1?y2)?(z1?z2) 222.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理，cos??cos?1cos?2)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等?斜线在平面上射影为角的平分线.

3.计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法(cos??S影S原)、

向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线))、垂面法.

4.计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换法(平行换点、换面)等.

5.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是： 线线关系?线面关系?面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理

及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.

特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重

心”等知识转化.

②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题，并获得去解决.

③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.

6.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.

如长方体中：对角线长l?222a?b?c，棱长总和为4(a?b?c)，全(表)面积为

2(ab?bc?ca)，(结合(a?b?c)?a?b?c?2ab?2bc?2ca可得关于他们的等量

2222关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)，cos2??cos2??cos2??2(1)； 如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心.

如正四面体和正方体中：

6a3V?arccos133323a12arccos

7.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.注意：补形：三棱锥?三棱柱?平行六面体 分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .

8.多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．

正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种， 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体． 关于多面体的概念间有如下关系：

??? {多面体} ? {简单多面体} ? {凸多面体} ? {正多面体}；

???? {凸多面体} ? {棱柱} ? {直棱柱} ? {正棱柱} ? {正方体}；

?? {凸多面体} ? {棱锥} ? {正棱锥} ? {正四面体}．

?3a3a3a6欧拉公式(V＋F一E＝2)是简单多面体的重要性质，在运用过程中应重视“各面的边数

总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”．“简单多面体各面的内角总和是(V-2)×360”.

过一个顶点有n条棱，每个面是m边形的一般方法是什么？

0

10．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.

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