中考数学专项训练函数综合精选与解析

中考数学专项训练之函数综合精选附参考答案

1. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a． （1）当b=3时， ①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值； （2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=1：3时，求a的值； （3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由． 【考点】相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形． 【专题】综合题 【分析】（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式； ②把（-1，m）代入函数解析式即可求得m的值； （2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解； （3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论．利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3， 把x=-4，y=0代入得：-4k+3=0，∴k=∴直线的解析式是：y=3， 43 x+3， 4②由已知得点P的坐标是（1，m），∴m? 315?1?3?；44 非常实用优秀的教育电子word文档

（2）∵PP′∥AC，△PP′D∽△ACD，∴ （3）以下分三种情况讨论． 4P?DP?P2a1??，∴a= ； ，即5DCCAa?43①当点P在第一象限时，1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1） 过点P′作P′H⊥x轴于点H．∴PP′=CH=AH=P′H= 11 AC．∴2a=（a+4） 2241 ∵P′H=PC= AC，△ACP∽△APB 32b1OBPC1??，即?，∴b=2 ∴42OAAC2∴a=2）若∠P′AC=90°，P′A=CA则PP′=AC ∴2a=a+4∴a=6 ∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB ∴bOBPC??1，即?1 ∴b=4 4OAAC3）若∠P′CA=90°， 则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾． ∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形． ②当点P在第二象限时，∠PC′A为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；③当P在第三象限时，∠PC′A为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形． 4?a??a?4?∴所有满足条件的a，b的值为?或 3??b?4?b?2?非常实用优秀的教育电子word文档

【点评】本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．

2. 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12） 两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B． （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．

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考点：二次函数综合题。 专题：综合题。

分析：（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；

（2）存在．由（1）可求直线PB解析式为y＝2x－12，可知PB∥OD，利用BD＝PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；

（3）由P（4，－4）可知直线OP解析式为y＝－x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为－2，此时t＝2，按照0＜t≤2，2＜t＜4两种情形，分别表示重合部分面积． 解答：解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax＋bx＋c

2

?b?a?1??2a?4??由题意得?c?12，解得?b??8，

?c?12?4a?2b?c?0???∴二次函数的解析式为y＝x－8x＋12，（2分） 点P的坐标为（4，－4）；（3分）

（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下： 当y＝0时，x－8x＋12＝0， ∴x1＝2，x2＝6， ∴点B的坐标为（6，0），

2

2

设直线BP的解析式为y＝kx＋m 则??6k?m?0?k?2，解得?

?4k?m??4?m??12非常实用优秀的教育电子word文档

∴直线BP的解析式为y＝2x－12 ∴直线OD∥BP（4分）

∵顶点坐标P（4，－4）∴OP＝42 设D（x，2x）则BD＝（2x）＋（6－x） 当BD＝OP时，（2x）＋（6－x）＝32， 解得：x1＝

2

2

2

2

2

2，x2＝2，（6分） 5当x2＝2时，OD＝BP＝25，四边形OPBD为平行四边形，舍去，

2时四边形OPBD为等腰梯形，（7分） 524∴当D（，）时，四边形OPBD为等腰梯形；（8分）

55∴当x＝

（3）①当0＜t≤2时，

∵运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，则MP＝2t， ∴PH＝t，MH＝t，HN＝∴MN＝

1t， 23t， 23132

∴S＝t?t?＝t（10分），

224②当2＜t＜4时，P1G＝2t－4，P1H＝t， ∵MN∥OB∴△P1EF∽△P1MN，

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∴

S?p1EFS?P1MN?P1G????PH??， ?1?2S?p1EF?2t?4?2∴???，

32?t?t4∴S?PEF＝3t－12t＋12，

12

∴S＝

32922

t－（3t－12t＋12）＝－t＋12t－12， 442

∴当0＜t≤2时，S＝t，

当2＜t＜4时，S＝－

92

t＋12t－12．（12分） 4

点评：本题考查了二次函数的综合运用．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．

3. 已知直线y＝kx＋3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原

点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同

时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）． ①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；

②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

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（2）当k＝?（如图2），

32

时，设以C为顶点的抛物线y＝（x＋m）＋n与直线AB的另一交点为D4①求CD的长；

②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

考点：二次函数综合题。 专题：几何代数综合题。

分析：（1）①由题意得．②由题意得到关于t的坐标．按照两种情形解答，从而得到答案．（2）①以点C为顶点的抛物线，解得关于t的根，又由过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB＝90°，又由△DEC∽△AOB从而解得．②先求得三角形COD的面积为定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在线段比例中t为

36是，h最大． 25解答：解：（1）①C（1，2），Q（2，0）

②由题意得：P（t，0），C（t，－t＋3），Q（3－t，0） 分两种情况讨论：

情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ＝OP，即3－t＝t，∴t＝1.5

情形二：当△AQC∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝3∴△AOB是等腰直角三角形∴△ACQ也是等腰直角三角形∵CP⊥OA∴AQ＝2CP，即t＝2（－t＋3）∴t＝2∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒． （2）①由题意得：C（t，?3t?3） 4333t?3，由 (x－t)2?t?3＝??3， 444∴以C为顶点的抛物线解析式是y＝(x－t)2?解得x1＝t , x2＝t－

3． 4非常实用优秀的教育电子word文档

过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB＝90° ∵DE∥OA∴∠EDC＝∠OAB ∴△DEC∽△AOB

3DECD3? ∵AO＝4，AB＝5， DE＝t—（t—）＝

44AOBA3?5DE?BA415∴CD＝??

AO416 ∴②∵CD＝

15，CD边上的高＝16，∴S△COD＝

115129???，∴S△COD为定值． 21658要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为

12，∠BCO＝90° 5∵∠AOB＝90°∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA 又∵CP⊥OA∴Rt△PCO∽Rt△OAB

12?336OPOCOC?BO536?∴，OP＝，即t＝ ??25BOBABA52536∴当t为秒时，h的值最大．

25

点评：本题考查了二次函数的综合题，（1）①由题意很容易知，由题意知P（t，0），C（t，－t＋3），Q（3－t，0）代入，分两种情况解答．（2）①以点C为顶点的函数式，设法代入关于t的方程，又由△DEC∽△AOB从而解得．②通过求解可知三角形COD的面积为定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在线段比例中t为

2

36是，h最大．从而解答． 254. 已知抛物线y=ax﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求A、B的坐标；

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（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；

（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）令y=0求得x的值，从而得出点A、B的坐标；

（2）令x=0，则y=﹣3a，求得点C、D的坐标，设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入，求出直线CD的解析式；

（3）设存在，作MQ⊥CD于Q，由Rt△FQM∽Rt△FNE，得m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点M的坐标． 解答：解：（1）由y=0得，ax﹣2ax﹣3a=0， ∵a≠0， ∴x﹣2x﹣3=0， 解得x1=﹣1，x2=3，

∴点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（3，0）； （2）由y=ax﹣2ax﹣3a，令x=0，得y=﹣3a， ∴C（0，﹣3a），

又∵y=ax﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）﹣4a， 得D（1，﹣4a），

∴DH=1，CH=﹣4a﹣（﹣3a）=﹣a， ∴﹣a=1， ∴a=﹣1，

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2

2

2

2

2

MQFM=，及可得出关于ENEF

∴C（0，3），D（1，4），

设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，?∴直线CD的解析式为y=x+3； （3）存在．

由（2）得，E（﹣3，0），N（﹣∴F（

?b?3?b?3，解得?，

?k?1?k?b?43，0） 2399，），EN=， 22239，m），则FM=﹣m， 22作MQ⊥CD于Q， 设存在满足条件的点M（

22929?9??9?EF=??????，MQ=OM=?m2

24?2??2?由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE， ∴

MQFM=， ENEF2

整理得4m+36m﹣63=0，

63， 48163812

m+9m+=+

44492144（m+）=

24912m+=±

22321∴m1=，m2=﹣，

2233321∴点M的坐标为M1（，），M2（，﹣）．

2222∴m+9m=

2

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果．

5. 如图，抛物线y=

12

x+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． 2（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

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（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；

（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确△ABC是直角三角形；

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值

解答：解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=

12

x+bx﹣2上， 213×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=- 2213∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．

2213y=x2﹣x﹣2 221=（ x2﹣3x﹣4 ） 21325=（x﹣）2﹣， 228325∴顶点D的坐标为 （，﹣）．

28∴

（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2． 当y=0时，

123x﹣x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴B （4，0） 22∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20， ∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．

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（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，

连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．

∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM． ∴

OMOC?? EMED∴

m3?m2?224, ∴m= 25418解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，

?n?241?k??则?3,解得n=2， 2512k?n???8?241x?2． 12412424x?2?0,x?,?m?∴当y=0时，- 124141∴y??点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形． 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y?ax?bx?c(a?0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)

两点，且与y轴交于D(0,3)，直线l是抛物线的对称轴。 (1) 求该抛物线的解析式。(3分)

(2) 若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直

线的解析式。(4分)

(3) 点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标。(8分)

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y D l · A 0 M

考点：二次函数综合题。

分析：（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用交点式求出二次函数解析式；

（2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式； （3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBM，得出出P点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a，∴a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；

（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，

，即可求出圆的半径，即可得

N x

∴

1AC×BC=6，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点， 2∴二次函数对称轴为x=2，∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；

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y=kx+b，∴，解得：

，y?44x? 33（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，

∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，∵AC=1+2=3，BC=4，∴AB=5，AM=3，∴BM=2， ∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，∴△ABC∽△CBM，∴标为：（2，1.5）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握． 7. 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）

，∴PC=1.5，P点坐

设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）

（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？

（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？ 考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用。

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专题：应用题。

分析：（1）先用含x的代数式（12﹣3x）÷3=4﹣x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式列方程，求出x的值．

（2）用含x的代数式（12﹣4x）÷3=4﹣

4x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得3到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值． （3）用含x的代数式（a﹣nx）÷3=

an﹣x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式33得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值． 解答：解：（1）AD=（12﹣3x）÷3=4﹣x， 列方程：x（4﹣x）=3， x﹣4x+3=0， ∴x1=1，x2=3，

答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；

（2）AD=（12﹣4x）÷3=4﹣S=x（4﹣=﹣

2

4x， 34x）， 342

x+4x， 3当x=﹣

442?（-）3=

3时， 2S最大=

0?16=3， 44?（-）3答：当x=时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；

（3）AD=（a﹣nx）÷3=

an﹣x， 33an﹣x）， 33n2a=﹣x+x，

33S=x（

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当x=﹣

a3n2?（-）3=

a时 2na2?a29S最大==． n12n4?（-）3aa2答：当x=时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是平方米．

2n12n点评：本题考查的是二次函数的应用，（1）根据面积公式列方程，求出x的值．（2）根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值．（3）根据面积公式得到字母系数的二次函数，然后求出函数的最大值．

8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），△AOB的面积是3． （1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。 专题：综合题；压轴题。 分析：（1）由三角形S=

1OB?3=3可得点B的坐标； 2（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），点A在其上，求得a；

（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=﹣1交x轴于点E、

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当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小，由三角形相似，得到C点坐标．（4）设p（x，y），直线AB为y=kx+b，解得k、b，由S四BPOD=S△BPO+S△BOD，S△AOD=S△AOB﹣S△BOD，两面积正比可知，求出x． 解答：解：（1）由题意得∴B（﹣2，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，3），得a?1OB?3=3 23， 3∴y?3223x?x， 33（3）存在点C、过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线 的对称轴x=﹣1交x轴于点E、当点C位于对称轴 与线段AB的交点时，△AOC的周长最小， ∵△BCE∽△BAF，∴

BECE?， BFAF∴CE=

BE?AF33=，∴C（﹣1，）． BF33

?3k???k?b?3?3（4）存在、如图，设p（x，y），直线AB为y=kx+b，则?解得?，

??2k?b?0?b?23?3?∴直线AB为y?11323x?，S四BPOD=S△BPO+S△BOD=|OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|

2233=?32323x?x?， 333非常实用优秀的教育电子word文档

∵S△AOD=S△AOB﹣S△BOD=3﹣

132333×2×|x+|=﹣x+， 23333∴

S?AODSBPOD33x?233==，

323233?x?x?333?1，x2=1（舍去）， 213，﹣）， 24∴x1=﹣

∴p（﹣

又∵S△BOD=

323x+， 33∴

S?AODSBPOD323x?233==，

323233?x?x?3331，x2=﹣2． 2∴x1=﹣

P（﹣2，0），不符合题意． ∴存在，点P坐标是（﹣

13，﹣）． 24

点评：本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式，考查三角形相似和面积公式等知识点，本题步骤有点多，做题需要认真细心．

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M．已知点C的坐标是（﹣4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点．

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（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；

（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）由抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），故设其解析式为y=ax+1，则利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式，又由四边形OABC是平形四边形，则可求得点A与M的坐标；

（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H，即可证得△PQH∽△CMO，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x与t的关系式；

（3）设△ABQ的边AB上的高为h，可得S△BCM=S△ABQ=2S△BCM=

2

1BM?OM=2，则又由21AB﹣h，即可求得点Q的坐标． 22

解答：解：（1）∵抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2）， 故设其解析式为y=ax+1， 则有：2=（﹣2）×a+1， 得a=

2

1， 412

x+1， 4∴此抛物线的解析式为：y=

∵四边形OABC是平形四边形， ∴AB=OC=4，AB∥OC， 又∵y轴是抛物线的对称轴，

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∴点A与B是抛物线上关于y轴的对称点， 则MA=MB=2， 即点A的横坐标是2， 则其纵坐标y=

12×2+1=2， 4即点A（2，2）， 故点M（0，2）．

（2）作QH⊥x轴，交x轴于点H． 则∠QHP=∠MOC=90°， ∵PQ∥CM， ∴∠QPH=∠MCO， ∴△PQH∽△CMO，

PHQH? COMOx?ty?， 即4212

而y=x+1，

4x?t112

?（x+1）∴， 42412

∴t=﹣x+x﹣2；

2∴，

（3）设△ABQ的边AB上的高为h，

∵S△BCM=BM?OM=2，

∴S△ABQ=2S△BCM=AB﹣h=4，

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∴h=2，

∴点Q的纵坐标为4，代入y=x+1，

2

得x=±2，

∴存在符合条件的点Q，其坐标为（2，4），（﹣2，4）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

10. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、

D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿．．

DA

向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC

的延

长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0

改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改 变，请说明理由。

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形．

【分析】（1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=CP，根据P、Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ、CP的长度表达式，解方程即可；

（2）PH的长度不变，根据P、Q两点的速度比，即可推出QD：BP=1：2，根据平行线的

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性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20． 【解答】解：（1）∵AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动， ∴DQ=t，PC=20-2t， ∵若四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=PC， ∴20-2t=t， 解得：t= 20； 3（2）线段PH的长不变， ∵AD∥BH，P、Q两点的速度比为2：1， ∴QD：BP=1：2， ∴QE：EP=ED：BE=1：2， ∵EF∥BH， ∴ED：DB=EF：BC=1：3， ∵BC=20， 20， 3OE1EF∴： = ， OP3PH∴EF= ∴PH=20cm． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ和PC的长度表达式，推出DQ和PC的长度比为1：2． 11. 已知抛物线y?ax?bx?3(a?0)经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C。 （1）求抛物线y?ax?bx?3(a?0)的函数关系式及点C的坐标；

（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角

边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点

的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标。

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