2018-2019学年初中数学一元二次方程、二次函数、旋转、圆和概率(2)

（3）如图3，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点Q是直线x=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，求出此时点P的坐标．

2

24．如图，已知抛物线y=ax+bx经过点A（﹣2，0）、B（﹣3，3），顶点为C． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P是第一象限内的抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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25．陕西，简称“陕”或“秦”，古老而神秘，犹如镶嵌在中国内陆腹地的一颗明珠，是中华民族的重要发祥地之一，也是烹饪文化的重要发源地．陕西著名的特色美食中，馍类有：炕炕馍、石子馍（分别记为A1、A2）；糕点类有：水晶饼、琼锅糖（分别记为B1、B2）；面食类有：臊子面、荞面饸饹（分别记为C1、C2）．肖晓和陈梅同时去品尝陕西美食，肖晓打算在炕炕馍、水晶饼、荞面饸饹这三种美食中选择一种，陈梅打算在石子馍、琼锅糖、臊子面这三种美食中选择一种．

（1）用画树状图或列表法表示肖晓和陈梅选择美食的所有可能结果； （2）求肖晓和陈梅同时选择的美食不同类的概率．

26．如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=BC，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，过D作DE⊥AC于E．

（1）证明：DE为⊙O的切线． （2）若⊙O的半径为2，求AD的长．

27．如图，抛物线且

.

经过点

，与轴负半轴交于点，与轴交于点，

（1）求抛物线的解析式； （2）点在轴上，且

，求点的坐标；

（3）点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

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28．已知一次函数y=﹣

x+

的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线l过点A

且垂直于x轴．两动点D、E分别从A B两点间时出发向O点运动（运动到O点停止）．运动速度分别是每秒1个单位长度和

个单位长度．点G、E关于直线l对称，GE交AB

于点F．设D、E的运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，四边形是菱形？判断此时△AFG与AGB是否相似，并说明理由； （2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比．

29．某网商经销一种畅销玩具，每件进价为18元，每月销量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图中线段AB所示．

（1）当销售单价为多少元时，该网商每月经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？（销售利润=售价﹣进价）

（2）如果该网商要获得每月不低于3500元的销售利润．那么至少要准备多少资金进货这种玩具？

30．小明手中有一根长为5cm的细木棒，桌上有四个完全一样的密封的信封．里面各装有一根细木棒，长度分别为：2、3、4、5（单位：cm）．小明从中任意抽取两个信封，然后把这3根细木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

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参考答案

1．A 【解析】 【分析】

将解析式配方成顶点式得对称轴及其顶点纵坐标，作CD⊥AB于点D，

由∠BCD=∠ACB=60°、tan∠BCD=【详解】

，得，解之可得答案．

∵y=?x2+bx=?(x?)2+，

∴抛物线的对称轴为x=,顶点C的纵坐标为， 如图，过点C作CD⊥AB于点D，

由抛物线对称性知∠ACD=∠BCD=∠ACB=60°，

则tan∠BCD=,即，

解得：b=0(舍)或b=±故选：A. 【点睛】

，

本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是先将解析式配方成顶点式得对称轴及其顶

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点纵坐标，再做辅助线进行求解. 2．A 【解析】 【分析】 根据垂径定理得到【详解】 ∵OA⊥BC， ∴

，

，根据圆周角定理解答即可．

∴∠ADC=∠AOB=29°， 故选：A. 【点睛】

本题考查了圆周角定理，垂径定理，解题的关键是先根据垂径定理得到3．C 【解析】 【分析】

连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论． 【详解】 连接OO′，BO′，

∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°， ∴∠OAO′=60°，

∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′=60°， ∵∠AOB=120°， ∴∠O′OB=60°，

∴△OO′B是等边三角形， ∴∠AO′B=120°，

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再进行求解.

∵∠AO′B′=120°， ∴∠B′O′B=120°， ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°， ∴△OBB′是直角三角形，

∴图中阴影部分的面积=S△BOB′-S扇形O′OB

=

= ，

故选C． 【点睛】

本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．D 【解析】 【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一进行判断即可得答案. 【详解】

A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意， B选项是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意， C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意， D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意， 故选D. 【点睛】

本题考查轴对称和中心对称，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后

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的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题关键. 5．A 【解析】 【分析】

根据不可能事件是一定不会发生的事件,可得答案. 【详解】

∵事件A为不可能事件, ∴概率P（A）=0, 故选A. 【点睛】

本题考查了概率的意义,概率是反映了事件发生的机会的大小,注意不可能事件的概率是0. 6．C 【解析】 【分析】

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