信号与系统实验二 (2)

axis([-N,N,-0.1,0.6]) subplot(224) stem(k,phi,'r.'),

title('The

phase

phi(k)

of

x(t)'),

axis([-N,N,-2,2]), xlabel('Index k')

执行程序Q2_2得到的图形

The original signal x(t)10.40.50.20-1012-10-50510The amplitude |ak| of x(t)0-2The synthesis signal y(t)2110.50-10-2-10Time t12-2-10The phase phi(k) of x(t)-50Index k510

Q2-3 反复执行程序Program2_2，每次执行该程序时，输入不同的N值，并观察所合成的

周期方波信号。通过观察，你了解的吉伯斯现象的特点是：

N=30

The original signal x(t)10.40.50.20-1012-20020The amplitude |ak| of x(t)0-2The synthesis signal y(t)2110.50-10-2-10Time t12-2The phase phi(k) of x(t)-200Index k20

N=100

The original signal x(t)10.40.50.20-1012-100The amplitude |ak| of x(t)0-2-50050100The synthesis signal y(t)2110.50-10-2-10Time t12-2-100The phase phi(k) of x(t)-500Index k50100

吉伯斯现象的特点是: 随着

N 增加,部分和的起伏就向不连续点压缩,

但是对任何有限的N 值,起伏的峰值大小保持不变， 一个周期信号在一个周期有内断点存在，那么，引入的误差将除了产生纹波之外，还将在断点处产生幅度大约为9%的过冲

1、周期信号的傅里叶级数与GIBBS现象

给定如下两个周期信号：

x1(t)1x2(t)1t?2?112t

?2?0.20.22

Q2-4 分别手工计算x1(t) 和x2(t) 的傅里叶级数的系数。 信号x1(t) 在其主周期内的数学表达式为： 计算x1(t) 的傅里叶级数的系数的计算过程如下：

t?2a0??xtt?Tt1(t)dt

an?2/Tbn?2/Ta0?1/2a1?4/?29?24

a3?225?4a4?226?bn?0

计算得到的

?x(t)cos(nwt)dt

11t?T?x(t)sin(nwt)dt

11ta2?4x1(t)的傅里叶级数的系数的数学表达式是：

x1?1411?2[cos(?t)?cos(?t)?cos(?t)??] 2?925信号x2(t) 在其主周期内的数学表达式为：x2(t）?u(t?0.2）?u(t?0.2) 计算x2(t) 的傅里叶级数的系数的计算过程如下

t?2a0??xt2(t)dt：

t?Tan?2/Tt?T?x(t)cos(nwt)dt

22t22bn?2/T通

?x(t)sin(nwt)dt

t过计算得到的

x1(t)的傅里叶级数的系数的数学表达式是：

x2?

1?n??j?tSa（)e ???22用MATLAB帮助你计算出你手工计算的傅里叶级数的系数ak从-10到10共21个系数。

Q2-5 仿照程序Program2_1，编写程序Q2_5，以计算x1(t)的傅里叶级数的系数。 程序Q2_5如下：

clear, close all T = 2;

dt = 0.00001; t = -2:dt:2;

x1 = u(t+0.2) - u(t-0.2-dt); >> x=0;

>> for m=-1:1

x=x+u(t-m*T)-u(t-1-m*T-dt); end

>> w0=2*pi*T; >> N=10; >> L=2*N+1; >> for k=-N:N;

ak(N+1+k)=(1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt; end

>> phi=angle(ak); >> ak

执行程序Q2_5所得到的x1(t)的傅里叶级数的ak从-10到10共21个系数如下：

ak =

Columns 1 through 3

0.0000 + 0.0000i -0.0052 - 0.0000i 0.0095 + 0.0000i Columns 4 through 6

-0.0108 - 0.0000i 0.0078 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i Columns 7 through 9

-0.0117 - 0.0000i 0.0252 + 0.0000i -0.0378 - 0.0000i Columns 10 through 12

0.0468 + 0.0000i 0.2000 0.0468 - 0.0000i Columns 13 through 15

-0.0378 + 0.0000i 0.0252 - 0.0000i -0.0117 + 0.0000i Columns 16 through 18

0.0000 - 0.0000i 0.0078 - 0.0000i -0.0108 + 0.0000i Columns 19 through 21

0.0095 - 0.0000i -0.0052 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i

Q2-6 仿照程序Program2_1，编写程序Q2_6，以计算x2(t) 的傅里叶级数的系数（不绘图）。 程序Q2_6如下：

clear, close all

T = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2; x1 = u(t) - u(t-1-dt); x = 0; for m = -1:1

x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt); end

w0 = 2*pi/T; N = 10; L = 2*N+1; for k = -N: N;

ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt; end

phi = angle (ak);

执行程序Q2_6所得到的x2(t)的傅里叶级数的ak从-10到10共21个系数如下：

ak =

Columns 1 through 4

0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0354i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0455i Columns 5 through 8

0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0637i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.1061i Columns 9 through 12

0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.3183i 0.5000 0.0000 - 0.3183i Columns 13 through 16

0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.1061i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0637i Columns 17 through 20

0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0455i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0354i Column 21

0.0000 - 0.0000i

与你手工计算的ak相比较，是否相同，如有不同，是何原因造成的？ 答：与手工相同。

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