厦大-量子力学-06

一．简述

1. 什么是玻色子和费米子？简要介绍玻色子和费米子的主要特征； 2. 正常塞曼效应及其解释；

3. 解释能级简并的概念并指出其原因； 4. 什么是跃迁选择定则？简单解释其原因。

二．对低速运动的一维自由粒子，指出下列推导过程中的错误所在： 由E?h?,??得E?hv?,p?h?和p?mv，

v??h?v?pv?mv2?2E

三．假设质量为m的粒子在一维无限深势阱

?0,0?x?a中运动， V(x)???,x?0,x?a?（1） 求粒子的能量本征值及相应的本征函数；

（2） 若粒子在势阱中的状态由波函数?(x)?Ax(a?x)描写，A为归一化系数，求粒子

能量的平均值。

四．粒子作一维运动时，常将px简写为p。设F(x,p)是x,p的整函数，即

F(x,p)?m,n?0?C?mnxmpn，证明：

nn?1?x,p?i?np（1）；? ??,（2）：?xF?i???F ?p五．设体系处于??C1Y11?C2Y20状态（Y11,Y20为球谐函数，且?已归一化，即，求： |C1|2?|C2|2?1）

（1）Lz（轨道角动量的z分量）的可能测值及平均值；

（2）L（轨道角动量平方）的可能测值，相应的几率及平均值。 （3）Lx（轨道角动量的x分量）的可能测值。

六．氢原子的“圆轨道”（指l?n?1的态）的径向波函数

2Rn,n?1(r)?Cnrn?1exp(?r) na式中Cn为归一化常数，a为玻尔半径，试计算 （1） 平均半径?r?；

（2） 涨落?r??r2???r?2。

七．设有一个定域电子，受到沿x方向均匀磁场B的作用，哈密顿量（不考虑轨道运动）可表示为

eBSx????x mceB?式中??，?为泡利矩阵，S为电子的自旋。设t=0时电子自旋向上（Sz=），求t>0

2mc2H?时S的平均值。

八．考虑耦合谐振子，H?H0?H?，而

?2?2?21H0??(2?2)???2(x12?x22)

2??x1?x22H????x1x2

（?为常数，刻画耦合强度），

（1） 求出H0的本征值及能级简并度；

（2） 在弱耦合的情况下，以第一激发态为例，用简并微扰论计算对能级的影响（一级近似）。 附：谐振子的能量本征函数?n(x)满足

x?n(x)?（式中??1?n?n?1(x)?n?1?(x)? ??2???/?）

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