2016年中考（锐角三角函数中考+填空+解答题） (10)

【点评】本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出∠BAC=30°，属于中考常考题型． 40．（2016?乐山）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示， 由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x， 过点A作AD⊥CB的延长线于点D， 在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°， ∴BD=AB?cos60°=AB=6，AD=AB?sin60°=6∴CD=10x+6．

在Rt△ACD中，由勾股定理得：解得：

（不合题意舍去）．

，

，

答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得

出方程是解决问题的关键． 41．（2016?黔东南州）黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，

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在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．

（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）

【分析】延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，由三角函数求出求出CH、DH的长，得出CG，设AB=xm，根据正切的定义求出BG，得出方程，解方程即可． 【解答】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示： 在Rt△DHC中，∠DCH=60°，CD=4，

则CH=CD?cos∠DCH=4×cos60°=2，DH=CD?sin∠DCH=4×sin60°=2， ∵DH⊥BG，∠G=30°， ∴HG=

=

=6，

∴CG=CH+HG=2+6=8， 设AB=xm，

∵AB⊥BG，∠G=30°，∠BCA=45°， ∴BC=x，BG=

=

=

x，

∵BG﹣BC=CG， ∴x﹣x=8， 解得：x≈11（m）；

答：电线杆的高为11m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 42．（2016?临沂）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）？

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【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，如图，在Rt△APC中，利用余弦的定义计算出PC=10，利用勾股定理计算出AC=10，再判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=10，然后计算AC﹣BC即可．

【解答】解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20， 在Rt△APC中，∵cos∠APC=∴PC=20?cos60°=10， ∴AC=

=10

，

，

在△PBC中，∵∠BPC=45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴BC=PC=10，

∴AB=AC﹣BC=10﹣10≈7.3（海里）．

答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 43．（2016?宿迁）如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）

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【分析】作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，设PC=x，先判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=x，再在Rt△PAC中利用正切的定义得到8+x=

，解得

x=4（+1）≈10.92，即AC≈10.92，然后比较AC与10的大小即可判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险．

【解答】解：没有触礁的危险．理由如下：

作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8， 设PC=x，

在Rt△PBC中，∵∠PBC=45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴BC=PC=x，

在Rt△PAC中，∵tan∠PAC=∴AC=

，即8+x=

， ，解得x=4（

+1）≈10.92，

即AC≈10.92， ∵10.92＞10，

∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 44．（2016?绍兴）如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2． （1）求∠CBA的度数．

（2）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73）．

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【分析】（1）根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可；

（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°， ∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°；

（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D， 设BD=xm， ∵∠BCA=30°， ∴CD=

∵∠BAD=45°， ∴AD=BD=x， 则x﹣x=60， 解得x=

≈82， =

x，

答：这段河的宽约为82m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 45．（2016?赤峰）为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°，C岛在北偏东15°，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离（≈2.45，结果保留到整数）

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【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由等腰直角三角形的性质求出AD的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：由题意知：∠BAC=45°，∠FBA=30°，∠EBC=45°，AB=10°海里； 过B点作BD⊥AC于点D， ∵∠BAC=45°，

∴△BAD为等腰直角三角形； ∴BD=AD=50，∠ABD=45°； ∴∠CBD=180°﹣30°﹣45°﹣45°=60°， ∴∠C=30°；

∴在Rt△BCD中BC=100≈141海里，CD=50， ∴AC=AD+CD=50+50≈209海里．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

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