2016年中考（锐角三角函数中考+填空+解答题） (3)

4．（2016?上海）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为 208 米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度． 【解答】解：由题意可得：tan30°=解得：BD=30tan60°=

=

=， ，

=

=

，

解得：DC=90，

故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m）， 故答案为：208．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 5．（2016?十堰）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为 （30+10\\sqrt{3}） 米．（结果保留根号）

【分析】如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=

列出方程即可解决问题．

【解答】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，

设CK=HB=x，

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∵∠CKA=90°，∠CAK=45°， ∴∠CAK=∠ACK=45°，

∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30， ∴HD=x﹣30+10=x﹣20，

在RT△BHD中，∵∠BHD=30°，∠HBD=30°， ∴tan30°=∴

=

， ，

解得x=30+10．

∴河的宽度为（30+10）米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型． 6．（2016?大连）如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 11 海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．

【分析】作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA=9，再解Rt△PBC，得出PB=

≈11．

【解答】解：如图，作PC⊥AB于C， 在Rt△PAC中，∵PA=18，∠A=30°， ∴PC=PA=×18=9，

在Rt△PBC中，∵PC=9，∠B=55°， ∴PB=

≈

≈11，

答：此时渔船与灯塔P的距离约为11海里． 故答案为11．

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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义．解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 7．（2016?大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 \\frac{40+40\\sqrt{3}}{3} 海里/小时．

【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可． 【解答】解：如图所示：

设该船行驶的速度为x海里/时，

3小时后到达小岛的北偏西45°的C处， 由题意得：AB=80海里，BC=3x海里， 在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°， ∴∠B=90°﹣60°=30°， ∴AQ=AB=40，BQ=

AQ=40

，

在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°， ∴CQ=AQ=40，

∴BC=40+40=3x， 解得：x=

．

海里/时；

．

即该船行驶的速度为故答案为：

【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．

二．解答题（共23小题）

8．（2016?连云港）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=． （1）求BC的长；

（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：

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=1.4，=1.7，=2.2）

【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2

，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可

得出结果；

（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=

即可得出结果．

【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示： 在Rt△ADC中，AC=4， ∵∠C=150°， ∴∠ACD=30°， ∴AD=AC=2， CD=AC?cos30°=4×

=2

=， =，

在Rt△ABD中，tanB=

∴BD=16，

∴BC=BD﹣CD=16﹣2；

（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示： ∵∠ACB=150°，

∴∠AMC=∠MAC=15°， tan15°=tan∠AMD=

=

=

≈

≈0.27≈0.3．

【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键． 9．（2016?包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E． （1）若∠A=60°，求BC的长； （2）若sinA=，求AD的长．

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

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【分析】（1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；

（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．

【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6

，

，∠E=30°，

，

又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=∴CE=

=8，

∴BC=BE﹣CE=6﹣8；

，

（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x， ∴3x=6，得x=2， ∴BE=8，AE=10， ∴tanE=

==，

=

，

=

，

解得，DE=

∴AD=AE﹣DE=10﹣即AD的长是

．

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答． 10．（2016?上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求： （1）线段BE的长； （2）∠ECB的余切值．

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