递推数列求通项公式的常见类型及方法(4)

针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

2n 3 2n 1 2n

解得 2.

n 1即an 1 2 3(an 2n),

所以数列 a

nn 2n 是以a1 2 3为首项，3为公比的等比数列. an 2 3n,故an 3n 2n.

5. an 1 pan f(n).(p 1).

an 1anf(n)n 1方法：两边同除以p，得n 1 n n 1转化为类型一. ppp

例5. 数列 an 中，a1 1,an 1 3an 2n 2,(n 1)，求数列 an 的通项.

an 1an2n 2n 1解: 两边同除以3，得n 1 n 333n 1

2n 2an

令bn n,得bn 1 bn . n 133

利用叠加法及错位相减法,以求得

3n1an n ． 22

6.an 1 f(n)an g(n).

方法: 两边同除以f(1)f(2) f(n),得

an 1ang(n)转化为类型一 f(1)f(2) f(n)f(1)f(2) f(n)f(1)f(2) f(n)

例6. (2008年河南省普通高中毕业班教学质量调研考试)

数列 an 中，a1 1,an 1

f(n) n, n 2n2(n 1)an (n 1)，求数列 an 的通项. n 2n 2解: 令

则123n 1n2f(1)f(2) f(n) 345n 1n 2(n 1)(n 2)

两边同除以f(1)f(2) f(n),得

2(n 1)

an 1ann 2 222

(n 1)(n 2)n(n 1)(n 1)(n 2)

即(n 2)(n 1)an 1

令bn (n 1)nan 2(n 1)2 (n 1)nan,则

bn 1 bn 2(n 1)2

令n 1,2, n 1.得

b2 b1 2 22

b3 b2 2 32

bn bn 1 2n2 bn b1 2 (22 32 n2)

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