第一章 矢量分析(2)

2014-6-20

第一章 矢量分析1.4.4 梯度的基本公式 C 0

(C为常数) (C为常数)

(1.24) (1.25)

(C ) C

( ) ( ) 2

(1.26)(1.27) (1.28)

F ( ) F '( )

(1.29)

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Example Find the gradient of a scalar field f ( x, y, z) 6 x2 y3 e z at the point P(2,1,0). Solution: Since f(x,y,z) is given in rectangular coordinates, then f f f f ax a y az x y z 2 3 z 2 3 z 2 3 z 6 x y e ax 6 x y e a y 6 x y e az x y z 12 xy 3ax 18 x 2 y 2 a y e z az

At the given point P(2,1,0).the gradient of f(x,y,z) is f 24ax 72ay az

2014-6-20

第一章 矢量分析1.5 矢量场的通量、散度与高斯定理 1.5.1矢量场的通量 一个面元除了其大小以外，在空间还有一定的取向。如图1.5 所示，可以用一个矢量来表示面元。取一个与面元垂直的单位矢 量 en ,面元的大小为dS,则面元矢量为dS en dS

(1.30)

其中面元取向有两种情形 (1)对于一个开曲面，设此开曲面由一个 闭曲线围成如图1.5所示，则当开曲面上的 面元选定绕行方向后，沿绕行方向按右手 螺旋的大拇指方向就是 en 的方向；

图1.5 开曲面上的面元

(2)当 dS 是封闭曲面上的面元，则取为封闭面的外法向方向。若 位于矢量场 A 中，A 和dS 的标量积 A dS 便称为 A 穿过dS 的通量。2014-6-20

第一章 矢量分析将曲面S各面元上的通量 A dS 叠加即的穿过整个面元S的通量，记为 ,可见通量是一个标量。 S

A dS

(1.31)

通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量A 通过该有向曲

面 S 的通量。通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为

该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞(或汇)。闭合的有向曲面的方向 通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通

过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。2014-6-20

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