离散数学第8章 函数

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CHAPTER Eight

离散数学Discrete Mathematics

6/2/2013 9:02 PM

Discrete Math. , Chen Chen

离散数学第8章 函数

CHAPTER Eight

第八章 函数§8.1 函数的定义与性质

§8.2 函数的复合与反函数§8.3 双射函数与集合的基数§8.4一个电话系统的描述实例

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§8.1 函数的定义与性质

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定义8.1 设 F 为二元关系，若 x domF 都存在唯一的 y ranF 使xFy 成立, 则称F为函数。 对于函数F, 如果 xFy,则记y =F(x),并称y为 F 在 x 的值。 例8.1 设F1={<x1,y1>, <x2,y1>, <x3,y2>},F2={<x1,y1>, <x1,y2>}. 则F1是函数， 而F2不是函数。

定义8.2 设F、G是函数，则 F=G F G∧ G F.

注：如果F=G,那么它们满足：(1) dom F=dom G; (2) x dom F = dom G都有F(x)= G(x). 定义8.3 设A, B为集合, 如果 f 是函数, 且 dom f=A,ran f B,

则 f 称为从A到B的函数，记作 f : A→B.6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 3

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§8.1 函数的定义定义8.4 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA,即 BA={f | f: A→B}. A m 注：1. 若 |A|=m, |B|=n, 则 | B | = n ; 2. ΦΦ ={Φ }, BΦ={Φ}, ΦA=Φ. 例8.2 见教材P137. 定义8.5 设函数 f : A→B,A1 A,B1 B.

CHAPTER Eight

(1) 令f (A1)={ f (x)| x A1}. 称f (A1)为A1在 f 下的像。特别地，当A1=A时，称f (A)为函数的像.

(2) 令f –1(B1)={x| x A∧f(x) B1},称f –1(B1)为B1在 f 下的完全原像。例8.3 见教材P137.Discrete Math. , Chen Chen

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§8.1 函数的性质定义8.6 设 f : A→B. (1) 若 ran f =B,则称 f 是满射.

CHAPTER Eight

(2) 若 y ran f 都存在唯一的 x A使得f (x)=y,则称f 是单射. (3) 若 f 既是满射又是单射，则称 f 是双射(一一映射). 注： 1. 如果 f 是满射，则对 y B,都存在x A,使 f (x)=y

2. 如果 f 是单射，则对x1, x2 A,x1≠x2 , 必定f (x1) ≠f (x2)也就是说，如果f (x1) =f (x2),则 x1=x2。

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CHAPTER Eight例8.4 判断下列函数是否为单射、满射、双射.(1) f : R R, f ( x) x 2 x 1.2

(2) f : Z R, f ( x) ln x, Z 为正整数集. (3) f : R Z , f ( x) x . (4) f : R R, f ( x) 2 x 1. (5) f : R R , f ( x)

x 12

, 其中R 为正实数集.

x

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CHAPTER Eight解：(1) f : R R, f ( x) x 2 x 1是开口向下的抛物线。2

在x=1处取得最大值0,既不是单射，也不是满射. (2) f :Z

R, f ( x) ln x是单调增函数,是单射, 但不是

不是满射，因ranf {ln1, ln 2,...,} R. (3) f : R Z , f ( x ) x 是满射，但不是单射. (4) f : R R, f ( x) 2 x 1是满射,也是单射,从而是双射. (5) f : R R , f ( x)

x 12

, 当x 0时，f ( x )

; 而

x 当x 时，f ( x ) .在x=1处f(x)取得极小值2。 故它既不是单射，也不是满射。6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 7

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CHAPTER Eight例8.5 对如下给定的A, B和f, 判断 f 是否构成A到B的函数，如果 是，说明它是否为单射、满射和双射，并按要求进行计算。(1) A {1, 2, 3, 4, 5}, B {6, 7,8, 9,10}, f { 1,8 , 3, 9 , 4,10 , 2, 6 , 5, 9 }. (2) A, B同(1),f { 1, 7 , 2, 6 , 4, 5 , 1, 9 , 5,10 } (3) A, B同(1),f { 1,8 , 3,10 , 2, 6 , 4, 9 } (4) A B R, f ( x) x (5) A B R , f ( x) 3

x x 12

(6) A B R R, f ( x, y ) x y , x y . 令 L { x, y | x, y R y x 1}. 计算f ( L ). (7) A N N , B N , f ( x, y ) | x y |,2 2

计算 f ( N {0}), f6/2/2013 9:02 PM

1

({0}).Discrete Math. , Chen Chen 8

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CHAPTER Eight解 : (1) A {1, 2 , 3, 4 , 5} , B {6 , 7 , 8, 9 ,1 0} , f { 1,8 , 3,9 , 4 ,1 0 , 2 ,6 , 5,9 } . f 能 构 成 A到 B的 函 数 。 它 不 是 单 射 也 不 是 满 射 。 因 为 f ( 3 ) = f ( 5 ) = 9 , 且 7 r a n f . ( 2 ) A , B 同 (1), f { 1,7 , 2 ,6 , 4 ,5 , 1,9 , 5,1 0 } f 不 能 构 成 A 到 B 的 函 数 。 因 1,7 f 且 1,9 f . ( 3 ) A , B 同 (1), f { 1,8 , 3,1 0 , 2 ,6 , 4 ,9 } f 不 能 构 成 A 到 B 的 函 数 。 因 d o m f {1, 2 ,3, 4} A (4) A B R , f ( x) x 3

f 能 构 成 A到 B的 函 数 ， 且 是 双 射 。6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 9

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CHAPTER Eight(5 ) A B R , f (x) x x 2 1

f 能 构 成 A 到 B的 函 数 ， 但 既 不 是 单 射 ， 也 不 是 满 射 。 因 f (2 3 ) f (2 1 3 ) , 且 在 x=1处 取 得 最 大 值 1 . 2 4

(6 ) A B R R , f ( x , y ) x y , x y . 令 L { x , y | x , y R y x 1} . 计 算 f ( L ). f 能 构 成 A 到 B的 函 数 ， 是 双 射 且 f ( L ) = { < 2 x + 1 , - 1 > | x R } (7 ) A N N , B N , f ( x, y ) |x 2 2 1 y | , 计 算 f ( N {0} ), f ({0} ).

f 能 构 成 A 到 B的 函 数 ， 但 既 不 是 单 射 ， 也 不 是 满 射 。 因 f ( 1,1 ) f ( 2 , 2 ) 0 , 且 2 r a n f . 2 f ( N {0} ) { f ( n ,0 )| n N } { n | n N } . f 1 ({0} ) { n , n | n N } .

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