离散数学第8章 函数(2)

6/2/2013 9:02 PM

Discrete Math. , Chen Chen

离散数学第8章 函数

CHAPTER Eight例8.6 对给定的集合A和B构造双射函数f :A→B.(1) A P ({1, 2 , 3} ), B {0 , 1} (3) A Z , B N ;{1 ,2 ,3 }

;

( 2 ) A [ 0 , 1], B [ 4 , ]; 21 1

( 4 ) A [ , 3 ], B [ 1

,1]. 2 2 解 : (1) A { , {1} , { 2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , { 2 , 3} , {1, 2 , 3} }

B { f 0 , f 1 , , f 7 } , 其 中 ： f 0 { 1, 0 , 2 , 0 , 3, 0 } , f 2 { 1, 0 , 2 ,1 , 3, 0 } , f 4 { 1, 0 , 2 ,1 , 3,1 } , f 6 { 1,1 , 2 ,1 , 3, 0 } , 令 f :A B使 得 : f ( ) f 0 , f ({1, 2 ,3} ) f 7 , f ({1, 2} ) f 4 , f ({1,3} ) f 5 , f 1 { 1, 0 , 2 , 0 , 3,1 } f 3 { 1,1 , 2 , 0 , 3, 0 } f 5 { 1,1 , 2 , 0 , 3,1 } f 7 { 1,1 , 2 ,1 , 3,1 }

f ({ 2 , 3} ) f 6 , f ({1} ) f 1 , f ({2} ) f 2 , f ({3} ) f 3 , .6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 11

离散数学第8章 函数

CHAPTER Eight1 ( 2 ) A [ 0 ,1], B [ 1 , ] 4 2 令 f : [ 0 ,1] [ 1 , 1 ], f ( x ) x 1 4 2 4 (3) A Z , B N 将 Z 中 元 素 按 下 列 方 式 与 N中 元 素 对 应 Z: N: 0 0 -1 1 1 2 -2 3 2 4 -3 5 3 6 x 0 x 0

这种对应关系表示的函数是: ( 4 ) A [ , 3 ], B [ 1,1] 2 2 令3 f : [ , 2 ] [ 1,1], 2

2 x, f (x) 2 x 1,

f ( x ) s in x .12

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定义8.7

CHAPTER Eight

(1) 设 f : A→B,如果存在c B使得对 x A都有f(x)=c,则称 f是常 函数; (2) 称A上的恒等关系IA为A上的恒等函数，对 x A,都有IA(x)=x.

(3) 设(A, ),(B, )为偏序集，f : A→B。若对 x1, x2 A,x1 x2 时有f(x1) f(x2),则称 f 是单调递增的；若对 x1, x2 A,x1 x2时 f(x1) f(x2),则称 f 是严格单调递增的，类似可定义单调 递减和严格单调递减函数.(4) 设A为集合,对 A' A,A' 的特征函数XA' : A→{0,1}定义为 1 X A'(a ) 0 a A' 否则

(5) 设R是A上的等价关系，令 g: A→A/R, g(a)=[a], ( a A), 称g是从 A到商集A / R的自然映射。6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 13

离散数学第8章 函数

§8.2 函数的复合与反函数函数的复合也就是关系的右复合。 定理8.1设F,G是函数，则F。G也是函数，且满足 (1) dom(F。G)={x| x∈domF ∧ F(x) ∈domG} (2) x∈dom(F 。G) 有F 。G(x)=G(F(x)) 证明： (1) ∵ F,G是关系， ∴ F 。G也是关系。若 x∈ dom(F 。G) 有x F。G y1和x F 。G y2,则<x, y1 > ∈ F 。G ∧ <x, y2 > ∈ F 。G => t1(<x, t1 > ∈F∧ < t1 , y1 >∈G)∧ t2(<x, t2>∈F∧<t2, y2>∈G)

CHAPTER Eight

=> t1(<x, t1 > ∈ F ∧ < t1 , y1 >∈G) ∧ t2(<x, t2 > ∈ F ∧ < t2 , y2 > ∈ G)=> t1 t2( t1 = t2 ∧ < t1 , y1 > ∈ G ∧ < t2 , y2 > ∈ G) (∵ F为函数) => y1 =y2 (∵ G为函数)

∴ F 。G为函数。6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 14

离散数学第8章 函数

§8.2 函数的复合与反函数(2)对于 x, x∈dom(F。G) => t y(<x, t >∈F∧<t , y>∈G) => t (x ∈ dom

(F)∧t=F(x) ∧t ∈ dom( G)) => x ∈ {x| x ∈ dom(F) ∧ F(x) ∈ dom( G)} 对于 x,x ∈ dom(F)∧F(x)∈dom( G) => <x,F(x)>∈F∧<F(x),G(F(x))>∈ G => <x, G(F(x))>∈F。G => x ∈ dom(F) ∧F。G(x)=G(F(x))

CHAPTER Eight

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§8.2 函数的复合与反函数

CHAPTER Eight

推论1 设F,G,H为函数，则(F。G) 。H和F。(G 。H)都是函数， 且 (F。G) 。H=F。(G 。H) 推论2 设f:A → B, g:B → C, 则f。g: A → C,且 x∈A都有 f。g(x)=g(f(x)) 。 定理8.2 设 f:A → B, g:B → C

(1) 若f:A→B, g:B→C 都是满射的，则f。g: A → C也是满射的。(2) 若f:A→B, g:B→C 都是单射的，则f。g: A → C也是单射的。 (3) 若f:A→B, g:B→C 都是双射的，则f。g: A → C也是双射的。

证明略，参见P143。

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§8.2 函数的复合与反函数定理8.3 设 f:A → B, 则有 f=f。IB=IA。f 证明: 由前定理知 f 。IB :A → B, IA。f :A → B 对于 <x,y>, <x,y> ∈f => <x, y > ∈ f ∧ y ∈ B

CHAPTER Eight

=> <x, y > ∈ f ∧ <y,y> ∈ B => <x, y > ∈ f 。IB <x,y> ∈ f 。IB => t (<x, t > ∈f ∧ < t , y > ∈ IB) => <x, t > ∈ f ∧ t=y => <x, y > ∈ f

∴ f=f。IB同理可证明 f=f。IA

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§8.2 函数的复合与反函数考虑： 任给函数F,那么它的逆F-1是函数吗？ 答:不一定。 如F={<1,2>,<3,2>}为一从{1,3}到{2}的函数，而

CHAPTER Eight

F-1 ={<2,1>,<2,3>}不再是函数，仅是一个关系。任给单射函数f:A → B ,那么它的逆f-1是函数吗？ 答: f-1 是从ranf到A的函数，而且是双射函数。但不一定是从B到A 的函数。 对于什么样的函数f:A → B的逆f-1才是从B到A的函数呢？

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§8.2 函数的复合与反函数定理8.4 设 f:A → B是双射的,则f-1也是双射的。 证明: 先证明f-1是从B到A的函数f-1 :B → A。

CHAPTER Eight

∵ f是函数 ∴ f-1是关系，且 domf -1 =ranf=B, ranf -1 =domf=A 对于 x ∈B= domf -1,若 y1,y2 ∈A使得,

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