立体几何中的排列组合问题解法举隅

立体几何中的排列组合问题解法举隅

立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解

例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）

A. 12对 B. 24对 C. 36对 D. 48对

解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧

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棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有C6种; 第二步, 从底面61条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有C4种, 由乘法原理知有

11C6C4=24对, 故选B.

二．分类求解

例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A在同一平面上, 不同取法有( )

A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种

3解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3C5 30

种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.

例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.

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