数学竞赛辅导讲座：同余

2010年中学数学竞赛辅导讲座(经典竞赛辅导资料)

数学竞赛辅导讲座：同余

知识、方法、技能

同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本讲介绍同余的基本概念，剩余类和完全剩余系，同余方程，整数模的阶和中国剩余定理.

Ⅰ.基本概念

定义一：设m是一个给定的正整数.如果两个整数a、b用m除所得的余数相同，则称a、b对模m同余，记为a≡b（modm）；否则，记为ab（modm）.

例如，15≡7（mod4），－12（mod7）.

同余有如下两种等价定义法：

定义一* 若m|a－b，则称a、b对模m同余.

定义一**若a=b+mt(t∈Z)，则称a、b对模m同余.

同余的基本性质：

（1）a 0(modm) m|a.

（2）a a(modm)(反身性)

a b(modm) b a(modm)(对称性)

a b(modm) a c(modm)(传递性)b c(modm)

（3）若a b(modm),c d(modm),则

①a c b d(modm);

②ac bd(modm).

（4）若ai bi(modm),i 0,1,2, ,n.则,anxn a1x a0 bnxn b1x b0(modm).特别地，设f(x) anxn a1x a0(ai Z),若a b(modm)，则f(a) f(b)(modm).

（5）若ac bc(modm),则a bm).特别地，又若（c,m）=1，则a b(modm). (m,c)

【证明】因m|c(a b),这等价于abmc|(a b).又因若（a,b）=d (,)=1dd(m,c)(m,c)

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