数学竞赛辅导讲座：同余(2)

2010年中学数学竞赛辅导讲座(经典竞赛辅导资料)

（d≠0）及b|ac，且（b,c）=1 b|a, 从而有m|(a b). (m,c)

这个性质说明同余式两边的同一非零因数，不能像等式那样“约去”，只有当这非零因数与模互质时，才可“约去”.

（6）a b(modm),而d|m(d 0),则a b(modd).

（7）设a b(modm),

①若c>0，则ac bc(modmc);

②d为a、b、m的任一公约数，则abm (mod). ddd

（8）若a b(modm1),a b(modm2)且(m1,m2) 1,则a b(modm1m2).

（9）若a b(modm),则(a,m) (b,m).

Ⅱ.剩余类和完全剩余系

若按对某一模m的余数进行分类，就可以引入所谓的剩余类和完全剩余系的概念.

定义二：设m∈N*，把全体整数按其对模m的余数r（0 r m－1）归于一类，记为kr，每一类kr（r=0,1, ,m－1）均称模m的剩余类（又叫同余类）.同一类中任一数称为该类中另一数的剩余.

剩余类kr是数集kr qm r|m是模,r是余数,q Z ,也即kr a|a Z且a r(modm) ,它是一个公差为m的（双边无穷）等差数列.

根据定义，剩余类具有如下性质：

（1）Z k0 k1 k2 km 1,而ki kj (i j);

（2）对任一数n∈Z，有惟一的r0使n kr0；

（3）对任意的a,b∈Z，a,b kr a b(modm).

定义三：设k0,k1, ,km 1是模m的（全部）剩余类.从每个kr中任取一个数ar,这m个数a0,a1, ,am 1组成的一个组称为模m的一个完全剩余系，简称完系.

例如，取m=4，则有k0 , 8, 4,0,4,8 ,k1 , 7, 3,1,5,9, ，k2={ ，－6，－2，2，6，10， }，k3={ ，－5，－1，3，7，11， }.数组0，1，2，3；－8，5，2，－1等

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