平面向量的概念及线性运算
一、知识巩固
1、 平面向量的概念:既有 ,又有 的量叫做向量(矢
量),例如力、速度、位移等.向量是用有向线段来表示的。有向线段的箭头表示向量的 ,有向线段的大小表示向量的有向线
????段的 ,即向量的模。例如AB的模表示为 2、相等向量:大小 方向 的两个向量叫相等向量 3、负向量:大小 方向 的两个向量叫负向量。
????例如:AB的负向量记为 4、零向量:大小为 的向量 5、单位向量:大小为 的向量
6、共线向量(平行向量):方向大小为 的向量
7、模相等的两个平行向量如果方向相同为 向量,如果方向相反为 向量。
8、向量的加法法则:(1)三角形法则:首尾相连首尾连。
????????ABBC a+b = + =
B A a
a+bb
C
(2)平行四边形法则:同起点
???????????????? AB + AD = AB +BC= D
A B C
图 7 - 9
9、向量的减法法则:减终指向被减终
????????如图7-9 AB-AD= 10向量的数乘运算:一般地,实数?与向量a的积是一个向量,记作?a,它
1
的模为|?a|?|?||a|
若|?a|?0,则当?>0时,?a的方向与a的方向 , 当?<0时,?a的方向与a的方向 向量数乘运算满足如下的法则: ?1? 1a?a,??1?a??a ; ?2? ????a????a?????a?; ?3? ?????a??a??a;
?4? ??a?b???a??b. 11、向量共线的条件:对于非零向量a、b,当??0时,有 a∥b?a??b 二、试一试
1. 如图,?ABC中,D、E、F分别是三边的中点,试写出 (1)与???EF?相等的向量;(2)与???AD?共线的向量.
A F E D F A
O D
B E C
B C (第练1题图习题
(图第21题图-8)
2.如图,O点是正六边形ABCDEF的中心,试写出
(1)与???OC?相等的向量; (2)???OC?的负向量; (3)与???OC?共线的向量
3、填空(向量如图所示): (1)a+b =_____________ ,
2
(2)b+c =_____________ , (3)a+b+c =_____________ . 3.计算:
????????????????????????(1)AB+BC+CD=______________; (2)OB+BC+CA=______________.
????????????????????????(3)AB?AD=_______,(4)BC?BA=______,(5)OD?OA=______________.
三、精选例题
????????例1、 在平行四边形ABCD中,O为两对角线交点如图7-16,AB=a ,AD????????=b,试用a, b表示向量AO、OD.
????????????1????????1????分析 因为AO?AC,OD?BD,所以需要首先分别求出向量AC与BD.
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图7-16
例2、 计算:(1)3(a ?2 b)-2(2 a+b);
(2)3 a ?2(3 a ?4 b)+3(a ?b).
????????????????例3、计算(1)AB-AC+BD+DE
??????????????????(2)AM-AN+MG+GE
???????????????????(3)(AB-CD)-(AC-BD)
3
四、作业
1、化简
????????????????????????(1)AB+BC+CD; (2)OB+BC+CA.
????????????????????????(3)AB-AC (4)AB+BA+AD+DC
????????????????????????(5)AB-AC-CD (6)AB-AC-BC
(7)3(a-2b+3c)-5(-2a+b+2c)
????????2、如图,在平行四边形ABCD中,设AB= a,AD= b,试用a, b表示向量????????????AC、BD、DB
????????12、设a, b不共线,求作有向线段OA,使OA=
2(a+b)
3、 一艘船以12 km/h的速度航行,方向垂直于河岸,已知水流速度为5 km/h,求该船的实际航行速度.
4、当a与 b共线时,如何画出a-b
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