1.3.1函数的单调性与最大(小)值(第一课时)
教学设计
一、 教学内容解析:
(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点;
本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》(以下简称“新教材”)第一章节。
函数的单调性是研究当自变量x不断增大时,它的函数y增大还是减小的性质.如增函数表现为“随着x增大,y也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同,函数的奇偶性是研究x成为相反数时,y是否也成为相反数,即函数的对称性质.
函数的单调性与函数的极值类似,是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有.这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同,它们是函数在整个定义域上的性质.
函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法:加强“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般.首先借助对函数图象的观察、分析、归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进一步用数学符号刻画.
函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部).可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学中具有核心地位.
教学的重点是:引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大,y也增大(或减小)”这一特征进行抽象的符号描述:在区间D上任意取x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称函数f(x)在区间D上是增函数(或减函数).
(2)教学内容的知识类型;
在本课教学内容中,包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识,函数单调性的符号语言表述属于事实性知识,利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识,发现问题----提出问题----解决问题的研究模式,以及从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法,属于元认知知识.
(3)教学内容的上位知识与下位知识;
在本课教学内容中,函数的单调性,是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识.
(4)思维教学资源与价值观教育资源;
1 生活常见数据曲线图例子,能引发观察发现思维;函数f(x)= +1和函数y?x?,能引发
x提出问题---分析问题----解决问题的研究思维,不等关系等价转化为作差定号,是转化化归思维的好资源,是树立辩证唯物主义价值观的好契机;创设熟悉的二次函数探究背景,是引发从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料,树立了“事物是普遍联系的”价值观.
二、教学目标设置:
本课教学以《普通高中数学课程标准(实验)》(以下统称为“课标”)为基本依据,以“数学育人”作为根本目标设置。
“课标”数学1模块内容要求是:不仅把函数看成变量之间的依赖关系,还要用集合与对应的语言刻画函数,体会函数的思想方法与研究方法,结合实际问题,体会函数在数学和其他学科中的重要性。
“课标”对本课课堂教学内容要求是:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性.(第一课时)
为尽好达到以上要求,结合学生实际,本课课堂教学目标设置如下: (1)知识与技能:
理解函数单调性的概念,让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念; 能利用图象法直观判断函数的单调性;
初步掌握利用函数单调性定义从正反两个角度分析、判断、证明函数单调性.
理解函数单调性定义蕴含的不等关系,初步掌握利用作差比较推理证明函数单调性的方法. (2)过程与方法:
经历观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、推理论证等思维过程,提高相应的数学思维能力;
探索函数单调性的符号语言表述,体会数形结合、分类讨论、特殊与一般、无限与有限、等价转化等数学思想.
(3)情感、态度与价值观:
通过观察生活常见数据例子,感受数学的科学价值与应用价值,提高学习数学的兴趣。 通过自主学习、小组合作探究,形成独立思考、讨论争辩、合作整理的良好学习模式与氛围. 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生感知从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明的认知过程,形成对后续函数性质的一般研究方法,形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,树立辩证唯物主义世界观. 三、学生学情分析:
(1)学生已有基础:
认知基础:从学生知识最近发展区来看。他们在初中已经接触过函数的单调性,不过那时没有提函数的单调性,而是用体现变量之间依赖关系的文字语言“y随x的增大而增大,y随x的增大而减小”来描述,符合学生的认知规律,同时一次函数、二次函数的图象直观地体现了函数的这一性质.能理解不等关系,理解a>b可以等价转化为a-b>0, a<b可以等价转化为a-b<0.
非认知基础:通过小学、初中和高中阶段集合与函数概念的学习,学生具有一定的抽象概括、类比归纳、符号表示的能力.具备相当的日常生活经验,能看懂曲线图.
(2)教学难点及难点突破:
难点1:能用不等关系对“随着”、“增大”、“减小”这种文字语言进行符号化.这个差距是从自然描述抽象概括为符号表述. 抽象能力稍强的学生可以通过同时对比函数的列表和图象,用数形结合思想,自主消除差距.如果学生抽象能力稍弱,教师可以提示“增大、减小都是体现大小比较的词汇”,启发学生用比较大小的方法抽象概括.并用“当…时,有…”来体现“随着”这种变量间的伴随关系.
难点2:能理解“任意…都…”这个句式的具体含义: 第一,不能取特定值来判别函数的单调性;这里的差异是学生要理解可以用特殊推广到一般,但不能用特殊代替一般,学生也许理解不透彻,需要教师提起注意,本课设置了辨析题1解决这个问题;
第二,正是由于取值的任意性,造就了函数的单调性的局部性。这里的差异是学生要理解如果不在同一个单调区间内取值验证,会出现不能界定单调性的矛盾.学生第一次接触这样高度概括的符号语言,这个差距多数需要教师设置有效教学环节帮助消除,本课设置了辨析题2,并采用小组合作探究的学习模式,让学生独立思考、充分讨论、正误对比来获得正确认识.
第三、用“任意”的必要性,体现化无限为有限的思想.这里的差距是学生要理解“任意”这个说法的必要性,由于是高度概括的文字语言,理解起来需要演绎推理的过程,这个差距是需要教师帮助消除的,本课通过下列问题串来解决:
“师问:x1和x2是一对具有代表性的符号,它们究竟代表了多少对数值 生答:无数对
师问:无数对还是所有对 生答:所有对
师问:无数能代替所有吗 生答:不能
师问:什么可以代替
生答:可以用“任意”来代替 ”. 四、教学策略分析:
(1)教学材料分析;
学生在初中已经接触过函数的单调性,不过那时没有提函数的单调性,而是用体现变量之间依赖关系的文字语言描述,符合学生的认知规律,同时一次函数、二次函数的图象直观地体现了函数的这一性质.可以选择他们熟悉的一次函数、二次函数函数通过有效组织成为教学材料,在不经意中展示函数f(x)= +1引发不能靠图象直观判断,要靠解析式代值验证;再展示函数
1说明靠解析式代值验证操作性很差,需要发展新知识----利用解析式快速判断单调性,x这两个教学材料贴近学生实际出发,能有效引发思考,十分自然地推动了知识发展;再以二次函
2
数f(x)= x承担主要探究材料,组织列表和图象对比材料,驱动学生由“形”转“数”,提炼符号语言描述;组织两道辨析题,问题驱动深挖定义的内涵;组织直观判断单调性的例1以及需要用定义判断证明的例2及练习,肯定了利用函数解析式探求函数单调性的方法.
(2)教学方法分析;
本课教学内容重点是函数单调性符号语言描述的抽象概括过程,是学生遇到的抽象程度极高的符号语言,所以结合幻灯片、实物投影等多媒体技术的教学手段,选择观察发现式、问题启发式、合作讨论式的教学方法.
(3)设计“问题串”的分析:
依据的学生认知规律,从问题1至问题5以及两个思考,“问题串”的设计体现了从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明的脉络,有利于形成对后续函数性质的一般研究方法. “问题串”的设计也体现了发现问题----提出问题----解决问题的研究模式,不断激发学生学习数学的兴趣,树立学好数学的信心. 通过设计快问快答的预备“小问题串”,贴切学生思维,拉升思维速度,极大地满足学生的成功感,树立了学生的自信,激发了探索欲望.
(4)缩小认知差距的分析:
通过设计探究、发现与合作交流.全程参与新知识的形成过程,及时获得评价与反馈。通过问题的合理设计激发兴趣,在师生互动、生生互动中,体验知识与方法的生成过程.形成学生主动参与,自主与合作探究的课堂气氛.为不同认知基础的学生提供相应的学习机会和适当帮助
(5)学习反馈的分析:
通过两道辨析题反馈对函数单调性定义中“任意”的理解;通过例1反馈对函数单调性相关概念的理解;通过例2的练习反馈利用函数单调性定义、作差法来判断、证明单调性的学习效果.通过课堂小结反馈学生的知识、方法、思想、学法上的收获. 五、教学过程/步骤
(一) 感知数学 引入新课 y?x?观察以上图象,它们都反映了事物的哪种变化规律
【活动】让全班观察,请若干学生发言
【设计意图】创设了生活中常见数据曲线图的例子情境,激发学生的学习兴趣.通过问题渗透函数是研究事物运动变化规律的好模型,通过两种语言的描述:“上升”“下降”和“f(x)随着x的增大而增大或减小”,完成对函数单调性概念的第一次认识.点出课题,同时获得判断单调性的直观方法----图象法.
(二) 激发冲突 由形入数
问题1:观察下列函数的图象,描述函数有什么变化趋势
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