克莱姆法则的一个新证明

线性代数培训之收获

——对“克莱姆法则”的一个新教案

有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n阶行列式在几何上表示“n维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。

对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。

§7克莱姆法则

一、教学内容

(1) 克莱姆法则的证明 (2) 克莱姆法则的应用

二、教学要求

（1）理解克莱姆法则的证明

（2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解

（3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D≠0，方程组只有零解

教学过程

一、（定理1）克莱姆法则

若n×n线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2, ⑴ ????????????????ax?ax???ax?bn22nnnn?n11的系数行列式

a11a12?a1n D=

a21a22?a2n?????an1an2?ann?0,

则方程组⑴有唯一解：x1=

DD1D,x2=2,?,xn=n. ⑵ DDD其中Di(i=1,2,?,n)是把系数行列式D中的第i列的元素用方程组⑴右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即

a11?a1,i?1b1a1,i?1?a1n Di=

a21?a2,i?1b2a2,i?1?a2n??????????an1?an,i?1bnan,i?1?ann.

证：先证明⑵式是方程组⑴的解.

要证⑵式是方程组⑴的解，只需把它代入方程组⑴的第i个方程，如果左端也等于bi ，则说明⑵确是方程组⑴的解.

将⑵代入方程组⑴的第i个方程的左端，并把Di按照第i列展开， 第i个方程的左端=ai1=

DD1D+ai22+?+ainn DDD1(aD1+ai2D2+?+ainDn) Di11=[ ai1(b1A11+b2A21+?+biAi1+?+bnAn1)+ D ai2 (b1A12+b2A22+?+biAi2+?+bnAn2)+ ? + ain(b1A1n+b2A2n+?+biAin+?+bnAnn)]

1[b1(ai1A11+ai2A12+?+ainA1n)+ D b2(ai1A21+ai2A22+?+ainA2n)+ ? + bi (ai1Ai1+ai2Ai2+?+ainAin)+ ? + bn(ai1An1+ai2An2+?+ainAnn)]

=

根据行列式按行展开法则，可以看出，上面最后一式的方括中只有bi的系数是D ，而其他bk(k≠i)的系数都是零，从而第i个方程的左端=ai1DD1D1+ai22+?+ainn =（bi

DDDDD）=bi =第i个方程的右端, i=1,2,?,n.

故⑵确是方程组⑴的解. 再证明解的唯一性. 若方程组⑴还有一个解：

x1=c1 , x2=c2 , ?, xn=cn ⑶ 只要证明⑶与⑵相同即可.

将⑶代入方程组⑴，得

?a11c1?a12c2???a1ncn?b1,??a21c1?a22c2???a2ncn?b2,? ⑷ ???????????????ac?ac???ac?bn22nnnn?n11现在构造一个新的行列式

a11c1a12?a1n c1 D=

a21c1a22?a2n??????an1c1an2?ann（即在D的第1列乘以c1）

给此行列式的第2，3，?，n 列分别乘以c2，c3, ?,，cn后都加到第1列，得

a11c1?a12c2???a1ncna12?a1n c1D=

a21c1?a22c2???a2ncna22?a2n?????????????an1c1?an2c2???anncnan2?ann

根据⑷式，得

b1a12?a1n c1D=

b2a22?a2n????bnan2?annDD2,?, cn=n. DD=D1, 因为 D≠0,所以 c1=

D1. D 同理可证，c2=

唯一性得证.

（说明：我们学校现使用同济大学数学教研室编《工程数学：线性代数（第三版）》，其中克莱姆法则的证明（现略）,笔者认为，有以下几点值得商榷和改进：一是先证明解的唯一性，后验证解的存在性，是否符合思维逻辑？因为没有解的存在性这个前提，怎么谈解的唯一性？二是在解的唯一性的证明中所用的技巧很强与前面行列式的性质联系不够，教学实践也证明学生难以理解，而且不具备数学中证明很多“唯一性”问题的一般方法.因为一个好的方法应是一般性的、具有“以不变应万变”的功效，而且应充分利用学生已知的知识，化未知为已知，这是非常重要的数学思想方法。

，

基于以上想法，本文给出克莱姆法则的一个简捷的证明. 先证明了解的存在性，再证明了解的唯一性，在证明中充分应用了行列式的性质和行列式的展开定理，学生容易理解，而且具有一定意义的数学教育价值.

另外，不足之处是，能否象李老师所说引导学生去自然而然的发现这个定理，而不是一开始直接给出

这个定理，再去证明，本人目前还没有好的方法，有待继续考虑。）

例1 解线性方程组（现略）

（说明：这是一个含有4个未知数4个方程的非齐次线性方程组，其目的是熟悉克莱姆法则的内容和直接的、简单的应用，也使学生对克莱姆法则从一般到特殊有感性的认识，加深学生对克莱姆法则的理解和应用。）

定理1的逆否定理为：

定理1ˊ若线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式D=0

二、齐次线性方程组的克莱姆法则

若线性方程组（1）中的所有的常数项全为0，即b1=b2=?=bn=0, 若线性方程组（1）称为齐次线性方程组。

事实1：齐次线性方程组必有解，如x1=x2=?xn=0一定是它的解。这个解称为它的零解。如果有一组不全为0的数是它的解，则这个解称为它的非零解。

事实2：若齐次线性方程组有一个非零解，则它有无穷多解。

（说明：这2个事实不难证明，它们在后续的学习中反复遇到，而且可以以不同的形式出现：如零向量可以用任意一组向量线性表示，特别是事实2为后续学习齐次线性方程组的解的结构设下伏笔，正如李老师所说很多内容事实上是一回事，只是表现形式不同而已，这里讲透了以后可以少讲，这样使得学生精装上阵，减轻学生头脑的负担，先将书由薄读厚，再由厚读薄。）

定理2 若n×n齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则此齐次线性方程组只有零解。

定理2的逆否定理为：

定理2ˊ若n×n齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0。

证：用反证法。 假设D≠0，则由 克莱姆法则可知该齐次线性方程组线性方程组有唯一解x1=

DD1D,x2=2,?,xn=n。而D1=D2=?DN=0,因此唯一解是零解，这与有非零解相矛盾。故D=0。 DDD 注1：定理2ˊ的逆命题也成立，即若n×n齐次线性方程组的系数行列式D=0，则它一定有非零解。（第三章证明）

注2：关于更一般的m×n线性方程组的情况在本书第三章讨论。

例2 设齐次线性方程组

?(5??)x1?2x2?2x3?0,?有非零解，问?取何值？ ?2x1?(6??)x2?0,?2x?(4??)x?03?1 解 由定理2ˊ可知，若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D=0，

5??即D=

26??020=?5????6????4????4?4????4?6??? 4??=?5????2????8???=0

22 从而得??2或??5或??8。

（说明：齐次线性方程组的情形是线性方程组的特例，从而定理2和定理2ˊ分别是定理1和定理1ˊ的特例，分别由定理1和定理1ˊ演绎得到。数学教学中，归纳和演绎无处不在，我们要给学生强调一般化和特殊化的关系，这容易被忽视。特别是定理2ˊ的逆命题我们还没有证明，所以这里的例2是将原例题改变而成，原例题是问?取何值时，此齐次线性方程组有非零解。这样，更符合逻辑，好让学生懂数学，让学生更好的掌握知识。因为李教授说我们不但要教数学，也要教学生，不但要懂数学，更要懂学生。）

兰州交通大学 李兴东 2007，11，22