答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
设M(x1，0)，N(x2，3x2)，P(x0，y0)．
22∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x22＝4．即x1＋4x2＝4＋2x1x2 ∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2． …………………4分 ∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴P＝3，P⊥MN． →→MN顺时针方向旋转60°后得到MP． →→
MP＝(x0－x1，y0)，MN＝(x2－x1，3x2)． 3
??x－x??122?x－x?，即
∴?＝???31? 3x??y?
?－2 2?
2
1
0
1
2
0
y C P N x A M B 1333
x0－x1＝(x2－x1)＋x2，y0＝－(x2－x1)＋x2．
2222
13
∴x0＝2x2＋x1，y0＝x1． …………………………………………8分
222＝(2x2＋1x1)2＋3x2＝x2＋4x2＋2x1x2
∴AP2＝x2＋y0022411
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP≤23．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动．
由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，
由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R． …………8分 MN在△AMN中，由正弦定理知：＝2R，
sin60°
A 2
∴R＝， …………10分
3∴FM＝FN＝R＝
2
，又PM＝PN，∴PF是线段MN的垂直平分线． 3
N
E F
M B C P 1
设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．
3即FE＝∴PF＝
3
，又PE＝3． ……………………………12 3
4
，∴AP的最大值为PF＋R＝23． 3
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)
x2y2
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，
ab一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q． （1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为(0，b)，求过P，Q，F2三点的圆的方程； 1→→→→（3）若F1P＝λQF1，且λ∈[，2]，求OP·OQ的最大值．
2＝2，??2c2
（1）解：由题意得?a 解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．
＝2，?c?
x2
所以椭圆的方程为＋y2＝1． …………………………………………2分
2 （2）因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x－y＋1＝0．
4
x＋y＋1＝0，x＝－，??2?x＝0，341
?由?x 解得或所以点Q的坐标为(－，－)． ……………………4分 2＝1，133y＝1，＋y??2?y＝－，
3
???
解法一：因为kPF1·kPF2＝－1，所以△PQF2为直角三角形． ……………………6分 1152因为QF2的中点为(－，－)，QF2＝，
663
1125
所以圆的方程为(x＋)2＋(y＋)2＝． ……………………8分
6618解法二：设过P，Q，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ＋E＋F＝0，??11＋D＋F＝0，
则? 解得?1741
?9－3D－3E＋F＝0，
1D＝，31
E＝，
34F＝－．
3
?
114
所以圆的方程为x2＋y2＋x＋y－＝0． …………………………………………8
333分
→→（3）解法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P＝(x1＋1，y1)，QF1＝(－1－x2，－y2)．
?x1＋1＝λ(－1－x2)，?x1＝－1－λ－λx2，→→因为F1P＝λQF1，所以?即?
?y1＝－λy2，?y1＝－λy2，
(－1－λ－λx2)2
＋λ2y22＝1，21－3λ
所以2解得x2＝． …………………………………………12
2λx2
＋y22＝1，2
?????
分
λ2→→所以OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy22＝－2x2－(1＋λ)x2－λ
1－3λλ1－3λ2751＝－()－(1＋λ)·－λ＝－(λ＋) ． …………………………………………14分
22λ2λ48λ 1111因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2λ·＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．
2λλλ
1→→1→→所以OP·OQ≤，即OP·OQ最大值为． …………………………………………16
22分
解法二：当PQ斜率不存在时，
x22
在＋y2＝1中，令x＝－1得y＝±．
22
uuuruuur2211? 所以OP?OQ??1?(?1)??(?)?，此时??1??,2? …………………………2 ?222?2? 当PQ斜率存在时，设为k，则PQ的方程是y＝k(x＋1)， k(x＋1)，??y＝ 由?x2得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 2
??2＋y＝1．
?4k22k2?2，x1x2= 韦达定理 x1?x2=………………………………………4 221?2k1?2kuuuruuur 则OP?OQ?x1x2?y1y2?x1x2?k2(x1?1)(x2?1)
?(k2?1)x1x2?k2(x1?x2)?k222k2?22?4k2?(k?1)?k?k1?2k21?2k2k2?2???????????????? 6分 21?2k151???。222(1?2k)22设P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，
uuuruuur1?1? OP?OQ的最大值为，此时??1??,2? ………………………………8
2?2?19．(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝
ax＋bx
e，a，b∈R，且a＞0． x
（1）若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值； （2）设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)．
① 当a＝1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；
b
② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．
a1
解：（1）当a＝2，b＝1时，f (x)＝(2＋)ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
x
所以f ′(x)＝
(x＋1)(2x－1)x
e． …………………………………………2分
x2
1
令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表
2
x (－∞，－1) －1 (－1，0) 1(0，) 21 21(，2＋∞) f ′(x) f (x) ? ↗ 0 极大值 － ↘ － ↘ 0 极小值 ? ↗ 1－
由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e1，f (x)的极小值是f ()＝4e．……………………………………4
2分
b
（2）① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex，
xb
当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex．
x
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
x
所以b≤x2－2x－x在x∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分
e记
h(x)＝x2－2x－
(x－1)(2ex＋1)x
（x＞0），则h′(x)＝． exex
当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数； 当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数． 所以h(x)min＝h(1)＝－1－e1．
所以b的最大值为－1－e1． …………………………………………10分 b
解法二：因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex，
xb
当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex．
x
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
b
所以g(2)＝－e2＞0，因此b＜0． …………………………………………6分
2(x－1)(x2－b)exbxbx
g′(x)＝(1＋2)e＋(x－－2)e＝．
xxx2
因为b＜0，所以：当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)在（1，＋∞）上是增函数．
所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e
－1
－－
…………………………………………8分
因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立， 所以(－1－b)e1≥1，解得b≤－1－e1
因此b的最大值为－1－e1． …………………………………………10分 bbb
②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(2＋ax－－a)ex．
xxxbbb
由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(2＋ax－－a)ex＝0，
xxx整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0． 存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． …………………………………………12分
－
－
－
b2x3－3x2
因为a＞0，所以＝．
a2x－1
33
8x[(x－)2＋]
416
设u(x)＝（x＞1），则u′(x)＝．
2x－1(2x－1)2
2x3－3x2
因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，
bb
所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16
aa分
bbb
解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(2＋ax－－a)ex．
xxxbbb
由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(2＋ax－－a)ex＝0，
xxx整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0． 存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． …………………………………………12分 设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)
u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时，u′(x) ≥0 此时u(x)在[1，＋∞)上单调递增，因此u(x)≥u(1)＝－a－b 因为存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立
b
所以只要－a－b＜0即可，此时－1＜≤0 …………………………………………13分
a3a＋9a2＋16ab3a＋9a23
当b＞0时，令x0＝＞＝＞1，得u(x0)＝b＞0，
4a4a2又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0，在(1，x0)上必有零点
b
即存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立，此时＞0 …………………………………………15分
ab
综上有的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分
a20．(本小题满分16分)
已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列， a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列． （1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；
（2）设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有
an＋1a2＜． ana1
解：（1）解法一：因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d．
(3－2d)2 a23因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝a4＝3－d． ………………3分
(3－2d)2 33
因为a2＝1，所以3－d＝1，解得d＝2，或d＝4．因为an＞0，所以d＝4． 1
因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝2．……………5分 解法二：因为a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5成等差数列，
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