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通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试
数学(理科)试卷 2019年1月
第一部分(选择题)
一、选择题:在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A.
B.
, C.
D.
,则
( )
【答案】D 【解析】 【分析】
解不等式求出集合A,B,结合交集的定义,可得答案.
2
【详解】∵集合A={x|x﹣4x+3<0}=(1,3),
B={x|2x﹣3>0}=(,+∞), ∴A∩B=(,3), 故选:D.
【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,属于基础题. 2.设向量A.
B.
,
,则与 C.
垂直的向量的坐标可以是( )
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 求出【详解】
,判断哪个选项的向量与(﹣3,2)的数量积是0即可得出答案.
;
可看出(4,6)?(﹣3,2)=0; ∴故选:C.
【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积运算,以及向量垂直的充要条件.
.
.
3.已知A. B. 【答案】B 【解析】 【分析】
是定义在R上的奇函数,且当 C.
D.
时,,则等于( )
根据题意,由函数的解析式计算可得f(2)的值,又由函数为奇函数, 可得f(﹣2)=﹣f(2),即可得答案.
x2
【详解】根据题意,当x>0时,f(x)=2﹣1,则f(2)=2﹣1=3,
又由函数f(x)为R上的奇函数, 则f(﹣2)=﹣f(2)=﹣3; 故选:B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质,关键是灵活运用函数的奇偶性的性质. 4.已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合,则a等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出抛物线的焦点坐标,可得出双曲线的半焦距c的值,然后根据a、b、c的关系可求出a的值.
2
a2+5=32=9, 【详解】抛物线y=12x的焦点坐标为(3,0),所以,双曲线的焦点坐标为(±3,0),所以,
∵a>0,解得a=2, 故选:B.
【点睛】本题考查双曲线的性质,解决本题的关键在于对抛物线性质的理解,属于基础题. 5.已知x,y满足不等式组A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的平面区域,求出平面区域中各顶点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后求得目标函数z=x+y的最大值. 【详解】解:由不等式组
表示的平面区域,如图所示的阴影部分; 则
的最大值等于( )
.
三个顶点坐标为A(1,2),B(1,1),C(3,3); 将三个代入得z的值分别为3,2,6;
∴直线z=x+y过点C(3,3)时,z取得最大值为6. 故选:D.
【点睛】本题考查了线性规划的应用问题,常用“角点法”解答,步骤为:①由约束条件画出可行域,②求出可行域各个角点的坐标,③将坐标逐一代入目标函数,④验证求得最优解. 6.设
,则“
”是“
”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可. 【详解】∵a,b∈(1,+∞), ∴a>b?logab<1, logab<1?a>b,
∴a>b是logab<1的充分必要条件, 故选:C.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关键. 7.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,面积最小的侧面面积为( )
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A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】
由三视图画出该四棱锥的直观图,结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积. 【详解】解:由三视图画出该四棱锥的直观图,如图所示;
在此四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中,面积最小的侧面是Rt△PBC, 它的面积为BC?PB故选:B.
【点睛】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题,是基础题. 8.设函数为线段①函数
图象上不同两点的长度)叫做曲线
,
处的切线的斜率分别是,,规定
(
1
.
在点与点之间的“弯曲度”,给出以下命题:
,则
;
图象上两点与的横坐标分别为和
②存在这样的函数,其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数; ③设,是抛物线④设, 是曲线
上不同的两点,则
;
,则
.
(是自然对数的底数)上不同的两点
其中真命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】
.
2
由新定义,利用导数求出函数y=sinx、y=x在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③正确;举例说明x
②是正确的;求出曲线y=e上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“弯曲度”,判断④错误.
【详解】对于①,由y=sinx,得y′=cosx,
则kA=cos1,kB=cos(﹣1)=cos1,则|kA﹣kB|=0,即φ(A,B)=0,①正确; 对于②,如y=1时,y′=0,则φ(A,B)=0,②正确;
222
对于③,抛物线y=x的导数为y′=2x,yA=xA,yB=xB,
∴yA﹣yB=xA2﹣xB2=(xA﹣xB)(xA+xB), 则φ(A,B)
2,③正确;
对于④,由y=e,得y′=e,φ(A,B)
xx
,
由不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),可得φ(A,B)综上所述,正确的命题序号是①②③. 故选:C.
1,∴④错误;
【点睛】本题考查了命题真假的判断与应用问题,也考查了新定义的函数应用问题,解题的关键是对题意的理解.
二、填空题.
9.复数【答案】【解析】 【分析】
先由复数代数形式的除法运算化简复数,再由共轭复数的定义可得答案. 【详解】解:z∴复数z故答案为:
的共轭复数是
.
,
,
的共轭复数是____.
【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念,属基础题. 10.设等比数列{an}的公比
,前n项和为,则
_____ .
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