河南省2020年中考数学压轴题全揭秘 专题20 几何与代数综合性及易错问题(含解析)

专题20 几何与代数综合性及易错问题

题型一：几何与代数综合性问题

尺规作图、利用代数方法解决图形存在性（最值、性质）问题等 题型二：易错题型 基于分类讨论的题型.

【例1】(2019·洛阳二模)如图，直线y??

4x?4与 x轴、y轴的交点为A，B．按以下步骤作图： 3①以点 A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB，x 轴于点 C，D； ②分别以点 C，D 为圆心，大于于点E．则点 E 的坐标为

1CD的长为半径作弧，两弧在∠OAB内交于点M；③作射线AM，交 y 轴2

【答案】（0，

3）. 2【解析】解：过点E作EF⊥AB于F，如图所示，

在y??

4x?4中，当x=0时，y=4；当y=0时，x=3， 3即A(3,0)，B（0,4），

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=5，

由题意的尺规作图方法可知，AM为∠BOA的平分线，

∴EO=EF， ∴△OAE≌△FAE， ∴OA=AF=3， ∴BF=AB－AF=2，

设OE=x，则EF=x，BE=4－x， 在Rt△BEF中，由勾股定理得： （4－x）=x+2，

2

2

2

33，即OE=， 223∴答案为：（0，）.

2解得：x=

【变式1-1】(2019·偃师一模)如图，点A(0，2)，在 x 轴上取一点 B，连接 AB，以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，AB 于点 M，N，再以 M，N 为圆心，大于

1MN的长为半径画弧，两弧交于点2

D，连接 AD 并延长交 x 轴于点 P．若△OPA 与△OAB 相似，则点 P 的坐标为

【答案】（

23，0）. 3【解析】解：由题意知，AP为∠OAB的平分线， ∴∠OAP=∠BAP， ∵△OPA与△OAB相似， ∴∠OPA=∠OAB=2∠OAP， ∴∠OAP=30°， ∵OA=2，

23， 323即P点坐标为（，0）.

3∴OP=OA·tan30°=【变式1-2】（2018·河南第一次大联考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k>0）分

别交反比例函数y?

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和y?在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y?的图象于xxx

点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是__________．

【答案】3715或. 75【解析】解：联立y=kx，y?1，得： x11，y=k，即A(,k)， kk3同理，得点B的坐标为(,3k)，

kx=∵BD⊥x轴， ∴C点坐标为（3k，），

3k∴BC=3k－3kkk，BC的中点的纵坐标为－≠k，

236∴A不在BC的垂直平分线上，即AB≠AC， （1）当AB=BC时， 即AB=BC，

2

2

1??3????3k?kk??k2??2?k???3k????， 3??2解得：k=3737或k=?（舍）； 77（2）当AC=BC时， 即AC=BC,

2

2

??1??kk??3???k?3k?， ???????3???3kk??????解得：k=2221515或k=?（舍）； 55