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起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例2．分解因式：x2?y2?x?y?____________ 解：x2?y2?x?y?(x2?y2)?(x?y)
?(x?y)(x?y)?(x?y)?(x?y)(x?y?1)
说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
例3. 分解因式：x3?3x2?4x?12?____________ 解：x3?3x2?4x?12?x3?4x?3x2?12
?x(x2?4)?3(x2?4)?(x?3)(x?2)(x?2)
说明：分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示：
例1. 分解因式：m2(n2?1)?4mn?n2?1 解：m2(n2?1)?4mn?n2?1
?m2n2?m2?4mn?n2?1
?(m2n2?2mn?1)?(m2?2mn?n2)?(mn?1)?(m?n)22
?(mn?m?n?1)(mn?m?n?1) 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。
例2. 已知：a2?b2?1，c2?d2?1，且ac?bd?0，求ab+cd的值。 解：ab+cd=ab?1?cd?1
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?ab(c2?d2)?cd(a2?b2)?abc2?abd2?cda2?cdb2 ?(abc2?cdb2)?(abd2?cda2)
?bc(ac?bd)?ad(bd?ac)?(ac?bd)(bc?ad)
?ac?bd?0?原式?0
说明：首先要充分利用已知条件a2?b2?1，c2?d2?1中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。
例3. 分解因式：x3?2x?3
分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x?1是x3?2x?3的一个因式，因此变形的目的是凑x?1这个因式。 解一（拆项）：
x3?2x?3?3x3?3?2x3?2x
?3(x?1)(x2?x?1)?2x(x2?1)?(x?1)(x?x?3)2
解二（添项）：
x3?2x?3?x3?x2?x2?2x?3?x2(x?1)?(x?1)(x?3) ?(x?1)(x2?x?3)
说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？
【实战模拟】 1. 填空题：
（1）分解因式：a2?3a?b2?3b? （2）分解因式：x2?2x?4xy?4y2?4y?（3）分解因式：1?mn(1?mn)?m3n3?
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2. 已知：a?b?c?0，求a3?a2c?abc?b2c?b3的值。
3. 分解因式：a?a?1
4. 已知：x2?y2?z2?0，A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3?y3?z3?(x?y)(x?z)A，试求A的表达式。
5. 证明：(a?b?2ab)(a?b?2)?(1?ab)2?(a?1)2(b?1)2
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5、用十字相乘法把二次三项式分解因式
【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
x2?(a?b)x?ab??x?a??x?b?进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两
个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax2?bx?c（a、b、c都是整数，且a?0）来说，如果存在四个整数
a1，c1，a2，c2满足a1a2?a，c1c2?c，并且a1c2?a2c1?b，那么二次三项式
这里要确定ax2?bx?c即a1a2x2??a1c2?a2c1?x?c1c2可以分解为?a1x?c1??a2x?c2?。
四个常数a1，c1，a2，c2，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知：x?11x?24?0，求x的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
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解：?x2?11x?24?0
??x?3??x?8??0 ???x?3?0 ??x?8?0?x?8或x?3?x?3?0或?x?8?0
例2. 如果x4?x3?mx2?2mx?2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x分成x?x，而对于常数项-2，可能分解成??1??2，或者分解成
4
22??2??1，由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为x2?ax?1x2?bx?2，其中a、b为整数，去括号，得：
432 x??a?b?x?x??2a?b?x?2
???? 将它与原式的各项系数进行对比，得： a?b??1，m?1，2a?b??2m 解得：a??1，b?0，m?1 此时，原式?x?2x?x?1
（2）设原式分解为x?cx?2x?dx?1，其中c、d为整数，去括号，得：
432 x??c?d?x?x??c?2d?x?2
?2??22????2? 将它与原式的各项系数进行对比，得： c?d??1，m??1，c?2d??2m 解得：c?0，d??1，m??1 此时，原式?x?2x?x?1
?2??2?
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