DVD在线租赁
一 摘要
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。在线DVD租赁成为一种可行的服务。本文就DVD在线租赁问题建立了数学模型，我们针对会员在不同情况下对不同种类的DVD的需求量以及对会员该如何分配DVD的问题进行了分析讨论。
在问题一中我们通过问卷调查以及问题给出的历史数据建立了一个优化模型，再利用LINDO软件解得了表（1）中五种不同类型DVD应至少准备的张数分别为：x1=6250,
x2=3125, x3=1563, x4=782, x5=313,才能保证希望看到每种DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。同样的办法得到了这五种不同种类DVD各应至少准备的张数为：x1?=3959, x2?=1980, x3?=990, x4?=495, x5?=198,才能保证在三个月内至少95%的会员能够看到每种DVD。
在处理问题二时，我们根据表（2）的有关数据对DVD进行分配，要使会员获得的满意度最大，建立了一个0—1规划模型，运用LINGO软件编程求解出了20种DVD分配给100名会员的具体情况。并用表格列出了前30名会员分别获得了哪种DVD（见附录二）。
在处理问题三时，我们根据表2中每种DVD下不为0的数字对应的会员可统计出愿意观看这DVD的人数，同样用解决问题一的方法便可得出每100名会员对每种DVD的购买量：
a1?32;a2?22;a3?28;a4?21;a5?22;a6?25;a7?25;a8?29;a9?25;a10?31;
a11?29;a12?25;a13?26;a14?27;a15?31;a16?25;a17?26;a18?27;a19?27;a20?19; 便可用解决问题二的0—1规划模型来对DVD进行分配，分配结果（见附录三），使一个月内95%的会员得到他想看的DVD。
二 关键词
线性规划、DVD合理分配、最大满意度
1
三 问题重述
考虑如下DVD在线租赁问题，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
1．通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表（1）给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表（1）中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2．根据表（2）如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大满意度？并具体列出前30位会员（即C0001——C0030）分别获得哪些DVD。假设表（2）中DVD的现有数量全部为0，又如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这20种DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
四 问题分析
对于问题一主要是解决在已知会员的人数的情况下，要使网站以准备最少的5种类型DVD的张数，来保证希望看到各种DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，用线性规划建立一个数学模型可解决此类问题，其目标函数为准备DVD的张数最少，约束条件为由各不同种类DVD准备的数量可满足的总人数应该不小于希望看到该DVD的人数的50%。
问题二是对DVD进行分配，使会员获得最大的满意度，可利用0—1规划建立模型 来进行处理，其中各名会员是否获得了各DVD类型为0—1变量，又因为会员的满意度跟会员的偏爱程度有关，表(2)中会员的在线订单数表示会员的偏爱程度，数字越小表示会员的偏爱程度超高，只需将会员所分配到不同种类的DVD所对应的订单数字求和取最小值，即满意度越大，所建立的目标函数的值越小。在这里又存在一个问题，由于数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，由目标函数是求最小值问题，很明显调用表(2)中的数据用LINGO软件求得目标函数的最优解为0，这是不符合实际的，这样我们可以把“对应的DVD当前不在会员的在线订单”理解成“会员的偏爱程度最低”，就可避免这一问题，约束条件由问题的总条件即每个会员每次获得3张DVD和DVD的现有数量可确定。
在问题三中继续对表（2）中会员的在线订单，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大，根据问题知表（2）中每种DVD当前的会员的在线订单不为0的数字对应的会员人数即为愿意观看该种DVD的人数，要使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，这样就和第一问的问题相类似，这样可算出DVD的购买量，在这里DVD的购买量即为第二问中所提到的DVD现有量，那么与解决问题二相类似的方法即可解决DVD的分配问题。
五 模型假设
1.不愿意观看某种类型DVD的会员不会租看这种类型的DVD；
2.每月租赁DVD两次的会员每半个月归还一次,可以提供本月下一次再出租,每月租赁DVD一次的会员看完一个月后才归还；
2
3.会员将看完的3张DVD放进网站提供的信封里寄回的途中不出现任何障碍； 4.问卷调查的会员的情况与现实情况基本相符； 5．每个会员每次所租的3张DVD的种类不同；
6．只要DVD当前在会员的在线订单中，就是会员想看的DVD；
六 符号说明
（i=1、2、3、4、5） Xi--在一个月内不同种类DVD所准备的张数；
Xi?--在三个月内不同种类DVD所准备的张数；（i=1、2、3、4、5）
（i=1、2、?100;j=1、2、?20） yij---第i名会员获得第j种DVD所对应的订单数字；（i=1、2、?20） ai---每种DVD的购买量；
（i=1、2、?20） bi---愿意观看DVD的人数；
七 模型的建立与求解
问题 一：
对表（1）中的每种DVD来说，应该至少准备多少张：通过问卷调查1000个会员得到愿意观看这些DVD的人数可估算出现有10万个会员愿意观看五种不同DVD的人数如下表： DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 愿意观看的20000 10000 5000 2500 1000 人数 对五种DVD应该准备的张数，要考虑到一个周期的问题，每月租赁一次的成员在一个月内看完DVD后归还，而租赁两次的成员他第一次租的DVD返还后接着租，他租的DVD的张数是租赁一次DVD的两倍，还要保证50%的人能够看到他们希望看到的DVD。根据问题的分析和假设建立模型：
目标函数：MIN Z?X1?X2?X3?X4?X5 ??????(1) 约束条件：
X1?2*60%?40%??20000*50% X2?2*60%?40%??10000*50%
X3?2*60%?40%??5000*50% X4?2*60%?40%??2500*50% X5?2*60%?40%??1000*50%
用LINDO软件解得：(程序见附录一)
3
X1=6250,X2=3125,X3=1563,X4=782,X5=313.即为五种不同种类的DVD
应该准备的张数。
在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD的情况和在一个月内至少50%的会员能够看到该DVD的情况类似：
目标函数为： MIN z?X1??X2??X3??X4??X5? ??????(2) 约束条件
3X1??2*60%?40%??20000*95% 3X2??2*60%?40%??10000*95%
3X3??2*60%?40%??5000*95% 3X4??2*60%?40%??2500*95% 3X5??2*60%?40%??1000*95%
用LINDO软件解得:(程序见附录一)
X1??3959, X2??1980, X3??990, X4??495, X5??198.即五种不同种类DVD应该
准备的张数,使得至少有95%的成员能够看到该DVD的所要准备的张数。
问题二：
问题二是如何对20种不同DVD进行分配,才能使会员获得最大满意度,通过对问题二的具体分析：利用0—1规划建立一个模型: 设xij为0—1变量，则：
xij=1时,表示第i个会员获得了第j种DVD(i=1、2、?、100;j=1、 2、 ?、20)
xij=0时，表示第i个会员未获得了第j种DVD(i=1、2、?、100;j=1、 2、 ?、20) 根据问题：会员的在线订单用数字1、2、?表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，那么将会员所分配到不同种类DVD所对应的订单数字乘积求和取最小值就可使会员获得最大满意度。我们可以把“数字为0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中”理解为“会员的偏爱程度最低”可设比当前会员的在线订单数字都大的数字为10，这就可避免前面所说的问题。 目标函数 MIN Z???xijyij ???????(3)
i?1j?110010020 由DVD现有数量和问题的总条件可得约束条件为：
?xi?1i1?8
4
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