19中考数学压轴题 二次函数动点问题（五）

35－5t2135－5t()(35－5t)＝()

222235－5t2521525∴S＝S正方形A′B′C′D′ －S△D′GH＝(5)－( )＝－t ＋t－

2424∴S△D′GH ＝

（4）如图4，抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面积． ∵t＝3，BB′＝AA′＝DD′＝35

∴S阴影＝S矩形BB′C′C＝BB′·BC＝35×5＝15

4.已知：抛物线y＝x －2x＋a（a ＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．

（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ， ），N（ ， ）； （2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

（3）在抛物线y＝x －2x＋a（a ＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．

22

1x－a分2

解：（1）M(1，a－1)，N(

41a，－a)． 33（2）∵点N ′是△NAC沿y轴翻折后点N的对应点 ∴点N ′与点N关于y轴对称，∴N ′(－

41a，－a)． 33 5

2442411a，－a)代入y＝x －2x＋a，得－a＝(－a)－2×(－a)＋a 333332

将N ′(－

整理得4a ＋9a＝0，解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－∴N ′(3，∵a＝－

9． 43)，∴点N到y轴的距离为3． 4299，抛物线y＝x －2x＋a与y轴相交于点A，∴A(0，－)． 44∴直线AN ′的解析式为y＝x －∴D(

99，将y＝0代入，得x ＝．

4499，0)，∴点D到y轴的距离为． 4419199189××3＋××＝

4222216∴S四边形ADCN ＝S△ACN ＋S△ACN ＝

（3）如图，当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC． ∴将点N向上平移－2a个单位可得到点P，其坐标为(得：－

47a，－a)，代入抛物线的解析式，3327424a＝(a)－2×a＋a，整理得8a ＋3a＝0． 333173解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－．∴P(－，)

288当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分． ∴OA＝OC，OP＝ON，点P与点N关于原点对称． ∴P(－

241a，a)，代入y＝x －2x＋a，得 3324241a＝(－a)－2×(－a)＋a，整理得8a ＋15a＝0．

333解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－

1555．∴P(，－) 828∴存在这样的点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为 (－

1755，)或(，－)． 2828

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2012中考数学压轴题选讲（五）

1.如图，抛物线y＝－x ＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存

在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

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2.如图，已知抛物线y＝a(x－1)＋33(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时

间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位

和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

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