傅里叶变换和拉普拉斯变换

即是s的一个有理分式，即

N?s?bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0F?s??D?s?sn?an?1sn?1???a1s?a0(5-10)

式中，a0, a1, …, an?1?和b1, b2, …, bm等均为实系数； m和n均为正整数。故可将像函数F?s?展开成部分分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得对应的原函数f?t?。

欲将F?s?展开成部分分式，首先应将式(5-10)化成真分式。即当m?n时，应先用除

N0?s?法将F?s?表示成一个s的多项式与一个余式 D?s?之和，即

F?s??N?s?N0?s?N?s??Bm?nsm?n???B1s?B0?0D?s?D?s?，这样余式D?s?已为一真分式。对应

m?n于多项式Q?s??Bm?ns???B1s?B0各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激

F?s??N?s?D?s?已是真分式的情况讨论。分两种情况

函数本身。所以，在下面的分析中，均按研究：

(1) 分母多项式D?s??s?an?1snn?1???a1s?a0?0的根为n个单根

p1p2?pi?pn。由于D?s??0时即有F?s???，故称D?s??0的根pi(i=1,2,…,n)为

F(s)的极点。此时可将D(s)进行因式分解，而将式(5-10)写成如下的形式，并展开成部分分式。即

N?s?bmsm?bm?1sm?1???b1s?bF?s????D?s??s?p1??s?p2???s?pi???s?pn? (5-11)

K1K2KiKn???????s?p1s?p2s?pis?pn

式中，Ki(i=1,2,…,n)为待定常数。

可见，只要将待定常数Ki求出，则F?s?的原函数f?t?即可通过查表5-2中序号6的公式而

求得为

f?t??K1ep1t?K2ep2t???Kiepit???Knepnt??KiepitU?t?i?1n

待定常数K1按下式求得，即

Ki?

N?s??s?pi?D?s?s?pi (5-12)

现对式(5-12)推导如下：给式(5-11)等号两端同乘以?s?pi?，即有

F?s??s?pi??KK1?s?pi??K2?s?pi????Ki???n?s?pi?s?p1s?p2s?pn

由于此式为恒等式，故可取s?pi代入之，并考虑到p1?p2p2?pi?pn?pi，故得：

F?s??s?pi?s?p?0?0???Ki???0i

N?s??s?pi?D?s?s?pi 于是得

Ki?F?s??s?pi?s?p?i 证毕。 *2

(Residue Method)

根据式(5-7)知，拉普拉斯反变换式为

1??j?st??f?t??Fseds???j?2?j t?0这是一

个复变函数的线积分，其积分路径是s平面内平行于j?轴的??c1??0的直线AB(亦即直线AB必须在收敛轴以右)，如图5-4所示。直接求这个积分是很困难的，但从复变函数论知，可将求此线积分的问题，转化为求F?s?的全部极点在一个闭合回线内部的全部留数的代数和。这种方法称为留数法，也称围线积分法。闭合回线确定的原则是：必须把F?s?的全部极点都包围在此闭合回线的内部。因此，从普遍性考虑，此闭合回线应是由直线AB与直线AB左侧半径R??的圆CR所组成，如图54所示。这样，求拉普拉斯反变换的运算，

st??Fse就转化为求被积函数在F?s?的全部极点上留数的代数和，即

1??j?11ststst??????f?t??Fseds?Fseds?Fseds2?j???j?2?j?AB2?j?CRn1st?F?s?eds??Res?pi??AB?CR2?ji?1

式中 ?ABF?s?eds?f?t???st??j???j?F?s?estds

?CRF?s?estds?0

pi?i?1,2,??为F?s?的极点，亦即D?s??0的根；Res?pi?为极点pi的留数。以下分两种

情况介绍留数的具体求法。

(1) 若pi为D?s??0的单根［即为F?s?的一阶极点］，则其留数为

(5-23)

Res?pi??F?s?est?s?pi?s?pi

(2) 若pi为D?s??0的m阶重根［即为F?s?的m阶极点］，则其留数为

1dm?1mst?????pi??Fses?pi?m?1?!dsm?1??s?pi

(5-24)

将式(5-23)，式(5-24)分别与式(5-12)，式(5-19)相比较，可看出部分分式的系数与留数的差别，部分分式法与留数法的差别。它们在形式上有差别，但在本质上是一致的。

与部分分式相比，留数法的优点是：不仅能处理有理函数，也能处理无理函数；若F?s?有重阶极点，此时用留数法求拉普拉斯反变换要略为简便些(见例5-10)。

CRR??B?00AC1?

图5-4