如果能选择这样的p，使成立，则用同一初始向量
用幂法求A-pI及A的特征值,收敛速度要快得多. 因此对满足上述条件的p,可先求A-pI的按模最大特征值出A模最大特征值
及特征向量
及特征向量
,从而得
（4）从理论上讲，幂法可以采取降阶的方法求出矩阵A的全部特征值。当求出和对应的特征向量特征向量
后，按同样的思想可以依次求出。在幂法中，求出矩阵A的主特征值
以及相应的及对应的特征向量
从而把
后，可用压缩方法求出n-1阶矩阵B使它的特征值为,求A次特征值
的问题转化为求B的主特征值，等等。
为了作出所述的B,寻求非奇阵p，使由A与
---------------------①
有相同的特征值可知，上式中的B即为所求的矩阵，式①等价于：
其中
即
而此式取 时即成立，故当
时式①就成立了
当时，取确有：
HOUSEHOLDER阵，使
当
取H=I上式也成立，
综合上述分析得：
它不仅满足要求，且由H的正交性知，这种压缩方法有较好的稳定性。 原则上，这种压缩方法可以类似地进行下去，但实际上会引入较大的误差，因此不宜多次使用。
（2）反幂法：
基本思路： 设值为
没有零特征值，则
非奇异，即
的逆阵
存在，设的特征。因为
其对应的特征向量为
所以
故就是矩阵的特征值，它们满足
对应的特征向量仍为
。
因此，求矩阵的按模最小特征值
，这只需应用幂法即可求得。 注意点：
，就相当于求其逆阵的按模最大特征值
(1)由于求方程组
非常费时。故在用迭代向量由求时，可采用解
的办法。由于每次结方程组的系数矩阵都相同，故计算并不复杂。如果预先将作三角分解，这样使每次迭代仅仅求解两个三角方程组就更省时了。特别当n较大时，将大大地节省计算量。
(2)在反幂法中也可以用平移原点法来加速收敛 若
存在，显然其特征值为
对应得特征向量
现取,且设
与其他的特征值是分离的,即
对
满足
应用反幂法,构造向量序列
(1) (当
)
(2) 或
(当
)
(当
)
且收敛速度由比值三．幂法小结：
确定
幂法适用范围 为求矩阵的按模最大特征值及相应的特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序在计算机上实现，缺点是收敛速度慢，其有效性依赖与矩阵特征值的分布情况
反幂法的适用范围是求矩阵A的按模最小特征值及对应的特征向量。
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