山东省寿光现代中学2017-2018学年高二下学期6月月考数学（理）试题-含答案

高二理科数学月考试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.i是虚数单位，复数z?1?i，则z2?2?（ ） zA．?1?i B．?1?i C．1?i D．1?i 2.设集合A?{x|?1?x?2}，B?{x|x?0}，则AB?（ ）

A．{x|x??1} B．{x|x?2} C．{x|?1?x?0} D．{x|0?x?2} 3.已知命题p：?x?R，2x?3x；命题q：?x?R，x3?1?x2，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．?p?q B．p?q C．p??q D．?p??q

2??x?2?sin?4.将参数方程?（?为参数）化为普通方程是（ ）

2??y?sin?A．y?x?2 B．y?x?2 C．y?x?2(2?x?3) D．y?x?2(0?y?1) 5.在极坐标系中，过点(2,?3)且与极轴平行的直线的方程是（ ）

3 C．??3cos? D．??3sin?

A．?cos??3 B．?sin??6.观察下列各式：a?b?1，a2?b2?3，a3?b3?4，a4?b4?7，a5?b5?11，…，则a8?b8?（ ）

A．18 B．29 C．47 D．76 7.下列不等式一定成立的是（ ） A．x?211?2(x?0) B．x2?2?1(x?R) xx?12C．x?1?2x(x?R) D．x?5x?6?0(x?R) 8.下列关于函数f?x??2x?x2ex的判断正确的是（ ） ①f?x??0的解集是{x|0?x?2}； ②f?2是极小值，f?????2?是极大值；

③f?x?没有最小值，也没有最大值.

A．①③ B．①②③ C．② D．①② 9.直线y?4x与曲线y?x第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）

3A．22 B．42 C．2 D．4

?x?y?7?0y?10.设x，y满足约束条件?x?3y?1?0，则z?的最大值是（ ）

x?2x?y?5?0?A．

3452 B． C． D． 4325n11.利用数学归纳法证明“(n?1)(n?2)(n?3)???(n?n)?2?1?3?????(2n?1)，n?N*”时，从”n?k”变到“n?k?1”时，左边应增加的因式是（ ） A．2k?1 B．

2k?12k?3(2k?1)(2k?2) C． D． k?1k?1k?112.已知定义在R上的可导函数y?f?x?的导函数为f'?x?，满足f?x??f'?x?，且

f?0??2，则不等式

f?x??2的解集为（ ） xeA．???,0? B．?0,??? C．???,2? D．?2,???

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.若复数?3?i??a?2i?是纯虚数，则实数a? ． 14.观察下列式子：1?131151117，，?1???1??2?2?，……，根据上述2222222332344规律，第n个不等式应该为 ．

15.设实数x，y，m，n满足x?y?1，m2?n2?3，那么mx?ny的最大值

22是 ． 16.已知函数f?x??是 ．

1?x?alnx?a?R?在其定义域上不单调，则a的取值范围x三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

217.已知命题p：x?4x?a?0在x?[1,4]上有解，命题q：函数f(x)?lg(x?ax?4)的

2定义域为R.

（1）若p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p?q是假命题，求实数a的取值范围. 18.已知函数f?x??x?ax?lnx，a?R.

2（1）若a?1，求曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线方程； （2）若函数f?x?在[1,3]上是减函数，求实数a的取值范围.

19.以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系.已知直线l的参数方程为?极坐标方程为?sin??4cos?. （1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求AB. 20.设函数f(x)?x?1?x?2. （1）解不等式f(x)?5?x； （2）若f(x)?2???x?2?3t（t为参数），曲线C的

?y??1?2t1?1对?x?R恒成立，求实数a的取值范围. a?21.（1）已知a,b,c?R，a?b?c?1，求证：(?1)(?1)(?1)?8. （2）设a为实数，f(x)?x?ax?a.求证：f(1)与f(2)中至少有一个不小于

21a1b1c1. 222.设函数f?x??lnx??a?1?x，?a?R?. （1）讨论函数f?x?的单调性；

（2）当函数f?x?有最大值且最大值大于3a?1时，求a的取值范围.

理科数学答案

一、选择题

1-5 CBACB 6-10 CBDDA 11、12：DB

二、填空题

13. ?1112n?12? 14. 1?2?2????? 15.

23(n?1)2n?133 16. a?2

三、解答题

17.【解析】（1）设g(x)?x?4x?a，对称轴为x?2，

若存在一个x?[1,4]满足条件，则g(1)?0，g(4)?0，解得0?a?3， 若存在两个x?[1,4]满足条件，则g(1)?0，g(2)?0，解得3?a?4， 若p是真命题，则实数a的取值范围为[0,4]. （2）若p为假命题，则由（1）可得a?0或a?4， 若q为假命题，则由??a2?16?0得a??4或a?4， 若p?q是假命题，则p，q均为假命题， 故满足条件的实数a的取值范围为(??,?4]22(4,??).

18.【解析】（1）当a?1时，f?x??x?x?lnx，所以f'?x??2x?1?1，f'?1??2， x又因为f?1??2，所以曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线方程为2x?y?0.

??12x2?ax?1?0在[1,3]上（2）因为函数在[1,3]上是减函数，所以f'?x??2x?a??xx恒成立.

?a??1?17?h?1??0?做法一：令h?x??2x?ax?1，有?，得?17，故a??.

3a????h?3??0?3?2∴实数a的取值范围为???,???17?. ?3?2做法二：即2x?ax?1?0在[1,3]上恒成立，则a?1?2x在[1,3]上恒成立， x令h?x??117?2x，显然h?x?在[1,3]上单调递减，则a?h?x?min?h?3?，得a??. x3∴实数a的取值范围为???,?2??17??. 3?2219.【解析】（1）由?sin??4cos?，即?sin??4?cos?，得曲线C的直角坐标方程为y?4x.

（2）将l的参数方程代入y?4x，整理得4t2?8t?7?0，

22∴t1?t2??2，t1t2??∴AB?7， 4??3?2?22t1?t2?13??t1?t2?2?4t1t2?13?4?7?143. ?3?2x,x?1?20.【解析】（1）因为f(x)??1,1?x?2，

?2x?3,x?2?当x?1时3?2x?5?x，解得x??2；当1?x?2时，1?5?x，无解； 当x?2时，2x?3?5?x，解得x?8. 383所以不等式f(x)?5?x的解集为(??,?2][,??). （2）依题意只需f(x)min?所以

1?1，而f(x)?x?1?x?2?(x?1)?(x?2)?1. a111?1?1，所以a?0或a?，故实数a的取值范围是(??,0)[,??). a2221.（1）因为a?b?c?1，所以

111a?b?ca?b?ca?b?c(?1)(?1)(?1)?(?1)(?1)(?1) abcabc?(b?c)(a?c)(a?b)(b?c)(a?c)(a?b)，因此b?c?2bc?0当且仅当b?c等?abcabc号成立，

a?c?2ac?0当且仅当a?c等号成立，a?b?2ab?0，当且仅当a?b等号成立，

所以(b?c)(a?c)(a?b)?8abc，当且仅当a?b?c等号成立，因为abc?0，所以

(b?c)(a?c)(a?b)111?8，所以(?1)(?1)(?1)?8.

abcabc（2）因为f(x)?x?ax?a，所以f(1)?1?2a，f(2)?4?3a.

211?3???a??1?2a???1??442假设f(1)，f(2)都小于，即?，即?，a??，

3712?4?3a????a????6?2?2所以假设不成立，即原命题成立.

1??a?1?x122.（1）∵f?x??lnx??a?1?x(x?0)，∴f'(x)???a?1??.

xx①当a?1?0，即a??1时，f'?x??0，∴函数f?x?在?0,???上单调递增. ②当a?1?0，即a??1时，令f'?x??0，解得x?当0?x?当x?1， a?11时，f'?x??0，f?x?单调递增， a?11时，f'?x??0，f?x?单调递减. a?1综上，当a??1时，函数f?x?在?0,???上单调递增； 当a??1时，函数f?x?在?0,??1??1?,??上单调递增，在???上单调递减.

a?1??a?1?（2）由（1）得若a??1，则f?x?单调递增，无最值. 若a??1，则当x?11?1??ln?1. 时，f?x?取得最大值，且f?x?max?f??a?1a?1?a?1?∵函数f?x?的最大值大于3a?1，∴ln1?1?3a?1，即ln?a?1??3a?0， a?1令g?a??ln?a?1??3a?a??1?，则g?a?在??1,???上单调递增， 又g?0??0，∴当?1?a?0时g?a??g?0??0， 故a的取值范围为??1,0?.

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