卡尔曼滤波文献综述

华 北 电 力 大 学

毕业设计（论文）文献综述

所在院系 电力工程系

专业班号 电自0804

学生姓名 崔海荣

指导教师签名 黄家栋

审批人签字

毕业设计(论文)题目 基于卡尔曼滤波原理的电网频率综合检测

和预测方法的研究

基于卡尔曼滤波原理的电网频率综合检测和预测方法的研究

一、前言

“频率”概念源于针对周期性变化的事物的经典物理学定义，由于电力系统中许多物理变量具有（准）周期性特征，故这一概念得到广泛应用【1】。

电网频率是电力系统运行的主要指标之一，也是检测电力系统工作状态的重要依据，频率质量直接影响着电力系统安全、优质、稳定运行。因此，频率检测和预测在电网建设中起着至关重要的作用。

随着大容量、超高压、分布式电力网网络的形成以及现代电力电子设备的应用，基于传统概念的电力系统频率和测量技术在解决现代电网频率问题上遇到了诸多挑战。

目前，用于频率检测和预测的方法很多，主要有傅里叶变换法、卡尔曼滤波法、最小均方误差法、正交滤波器法、小波变换法、自适应陷波滤波器以及它们和一些算法相结合来解决电网频率检测和预测问题。

本文着重讲述卡尔曼滤波原理、分类以及它在电力系统频率检测中的应用历程进行系统性分析，并对今后的研究方向做出展望。 二、主题

1 常规卡尔曼滤波

常规卡尔曼滤波是卡尔曼等人为了克服维纳滤波的不足，于60年代初提出的一种递推算法。卡尔曼滤波不要求保留用过的观测数据，当测得新的数据后，可按照一套递推公式算出新的估计量，不必重新计算【2】。

下面对其进行简单介绍： 假设线性离散方程为

xk?1?Akxk??k（1） zk?Hkxk??k （2）

式子中：xk ?Rn为状态向量；zk?Rm为测量向量；?k?Rp为系统噪声或过程噪

声向量；?k?R为量测噪声向量；Ak为状态转移矩阵；Hk为量测转移转移矩阵。假设系统噪声和量测噪声是互不相关的高斯白噪声，方差阵为Qk、Rk，定义xk/k?1=E(xk|yk?1) 其他递推，则卡尔曼滤波递推方程如下： 状态1步预测为

???mxk/k?1=Akxk?1（3）

1步预测误差方差阵为

TPk/k?1=Ak?1Pk?1Ak?1+Qk?1（4）

状态估计为

xk=xk/k?1+Kk（zk-Hkxk/k?1）（5）

???估计误差方差阵为

Pk=（I-KkHk）Pk/k?1（6）

滤波增益矩阵为

?1TT

（HkPk/k?1Hk+Rk）（7） Kk=Pk/k?1Hk

式中I为单位阵。式（3）~（7）就是随机离散系统卡尔曼滤波的基本方程【3】。 与常见的FFT、DFT比较，卡尔曼滤波不会出现采不到高频谐波或者泄露的情况。

2 扩展卡尔曼滤波

由于实际系统存在非线性因素，使得传统的卡尔曼滤波在频率检测预测方面存在困难，于是便有了诸多针对非线性模型的次优方法即扩展卡尔曼滤波（extended Kalman filtering,EKF）。EKF是将非线性模型线性化，它的主要思想是对非线性函数的泰勒级数展开式进行截断，实现线性化。

与线性卡尔曼滤波相似其原理如下：

xk?1?F(xk,?k,k)（8） zk?H(xk,k)??k（9）

式（8）（9）分别是状态方程和量测方程。扩展卡尔曼滤波必须在指定位置进行泰勒级数展开，实现线性化。过程如下：

xk?F(xk?1/k?1)??F(xk?1)|xk?1/?1??k?xk?1（10） ?H(xk)|xk/k?1??k?xk（11）

yk?H(xk/?1)?1991年，Beides H M和Heydet G T提出用扩展卡尔曼滤波理论来动态估计电力系统谐波。1993年，Kamwa也将EKF引入电力系统电能质量分析中，用于测量闪变。文献[4]根据离散的电网三相电压信号，在存在系统噪声和信号严重畸变的情况下，利用扩展卡尔曼滤波实现频率的正确估计。文献[5]提出一种以自适应卡尔曼滤波为基础的动态估计算法，提高滤波精度减小误差。但是当系统负荷突然变大时该算法误差较大。文献[6]通过分析单纯采用卡尔曼滤波算法误差较大和采用奇异值分解算法的动态估计算法具有好的收敛性和精度，提出了两者相结合的算法，即在算法程序初始时刻和不满足准稳态的前提时启用SVD算法，为卡尔曼滤波算法提供基准状态数据和向管理者提供谐波数据库。

3 无迹卡尔曼滤波

在扩展卡尔曼滤波中，系统状态分布和所有的相关噪声密度由高斯随机变量近似，其均值和方差解析地通过一个非线性系统的一阶线性化传播。这样会给变换后的高斯随机变量的真实验后均值和方差带来较大的误差，从而导致次优解甚至使滤波发散。Sigma点卡尔曼滤波利用一个确定性采样方式来解决这个问题。

状态分布同样用高斯随机变量来近似，但是用一个精心挑选的加权采样点的最小集来表示。利用这些点可以较好的描述高斯随机变量的真实均值和方差，并且当通过真实的非线性系统传播时，获得的验后均值和方差的精度为非线性系统的二阶泰勒级数展开的结果，然而扩展卡尔曼滤波仅能达到一阶泰勒级数展开的精度。更重要的是Sigma点卡尔曼滤波实现起来比扩展卡尔曼滤波简单，不需要计算雅克比矩阵。最为熟知的是基于无迹变换的无迹卡尔曼滤波，此外还有平方根无迹卡尔曼滤波、中心微分变换的中心微分卡尔曼滤波和平方根中心微分卡尔曼滤波等等。

为了改善对非线性问题进行滤波的效果，Julier等提出了基于无迹变换（简称U变换）的无迹卡尔曼滤波方法。该方法在处理状态方程时候，首先进行U变换，然后利用变换后的状态变量进行滤波估计，以减少估计误差。

Sigma点的创建方式：

设n维随机变量X~N（x，PX），m维随机向量Z为X的某一非线性函数Z=f(X)通过非线性函数f(·)进行传播得到Z的统计特性（Z，PZ）。U变换就是根据（x，PX）设计一些列点?i（i=1,2,3,?，L）称其为Sigma点。将其经过f(·)传播得到的结果?i（i=1,2,3,?，L）；然后基于?i计算（Z，PZ）。 U变换的具体过程如下：

（1）计算2n+1个Sigma点及其权系数

_??_?0?X（12）

_?i?X?((n??)PX)i,i?1,2,???,n（13）

_?i?X?((n??)PX)i,i?n?1,n?2,???,2n（14）

?0(m)?(c)?0?_?n?? （15）

?n???(1??2??)（16）

?i(m)??i(c)??2(n??),i?1,2,???,2n（17）

???2(n?k)?n（18）

式中：系数?决定Sigma点的散布程度，通常取一个很小的数值如0.01；k通常取0；?用来描述X的分布信息，通常高斯噪声情况取值为2；((n??)PX)i表示矩阵平方根的第i列；?i(m)为求一阶统计特性的权系数；?i(c)为二阶统计特性时的权系数。

（2）计算Sigma点经过非线性函数f(·)的传播结果

?i=f(?i),i=0,1,2，?，2n（19）

从而

PZ???(??Z)(?i?Z)T（21） PXZ???(?i?Z)(?i?Z)T（22）

(c)i2ni?0__2nZ???i(m)?i（20）

(c)i?0ii___2n下面介绍无迹卡尔曼滤波的具体过程： 考虑如下非线性模型

i?0Xk?1?F(Xk,uk,?k)（23） Zk?H(Xk,?k)（24）

式中定义与扩展卡尔曼滤波相似。则无迹卡尔曼滤波计算过程如下： （1）初始化

X0?E[X0],PX0?E[(X0?X0)(X0?X0)T](25)

^^^X0?E[X]?[X,?,?](26) P?E[(X?X0)(X?X0)T](27)

(2)对于给定的Xk?1，P，用U变换求状态一步预测Xk/k?1和Pka/k?1，执行步骤如下：

1计算Sigma点?○

(i)k?1（^a^aa0^T0_k0_TT0a0a0^aa0^aak?1^ai?1,2,???,n），

?(0)k?1?Xk?1（28）

^a?(i)k?1?Xk?1?((n??)Pka?1)i,i?1,2,???,n（29）

^a?(i)k?1?Xk?1?((n??)Pka?1)i,i?n?1,n?2,???,2n（30）

^a2计算时间更新方程。通过状态方程的传播计算Sigma点?k(i)（i?0,1,2,???,2n）， ○

,10,2,，i?2?k(i)=F（?k(i?)1）

^a???n（31）

Xk/k?1=??i(m)?k(i)（32）

i?02nPak/k?1=

??i?02n(c)i(?i?Xk/k?1)(?i?Xk/k?1)T?Pka?1（33）

^a^a3计算观测更新方程 ○

?k/k?1?H(?ka/k?1)（34）

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