导弹攻击问题的数学建模 (2)

b2?b2?v2t’sin(?1)

利用数学归纳法可以得到t=(i+1)t’时， ?i=arctan((ai-xi)/(bi-yi)) 导弹的位置为Ai?1（xi?1，yi?1）：

xi?1?xi?v1t'cos(?/2??i) (3)

yi?1?yi?v1t'sin(?/2??i) (4)

敌艇的位置为Bi?1(ai?1,bi?1)：

ai?1?ai?v2t'cos(?i) (5)

bi?1?bi?v2t'sin(?i) (6)

直到满足条件xi?1?ai?1 并且xi?ai 时，敌艇被击中。

3.模型三

根据模型二可知，模型三是模型二逃逸角度的一般化。只需稍稍稍做出修改。因为敌艇的逃离方向不再是90度，选取导弹与x轴的方向为?来分析。 假设敌艇逃逸时与导弹所成的角度为k,当 t=(i+1)t’时， ?i=arctan((bi-yi)/(ai-xi)) 导弹的位置为Ai?1（xi?1，yi?1）：

xi?1=xi+v1*cos(?)*t yi?1=yi+v1*sin(?)*t 敌艇的位置为Bi?1(ai?1,bi?1)：

ai?1=ai+v2*cos(?+k-?)*t

bi?1=bi+v2*sin(?+k-?)*t

直到满足条件xi?1?ai?1 并且xi?ai 时，敌艇被击中。每次给定一个k值就会出现一个逃逸时间，选取逃逸时间最长的角为最优角度。

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六、模型求解

对于问题一，我们列出来的方程式是偏微分方程，所以先将它转化为我们熟悉的常微分方程：将模型的（1）式分解为：

v1?dx?(v2t?x)?dt22(v2t?x)?(H?y)? ?(??0)vdy （7） 1??(H?y)22?dt(vt?x)?(H?y)2?将（7）式代入（2）式得到:

v1?? (v2t?x)2?(H?y)2 （8） 再将（8）式代入（7）式得：

v1?dx?(v2t?x)?dt22(v2t?x)?(H?y)?(??0)?vdy（9） 1(H?y) ??22?dt(vt?x)?(H?y)2?

(9)式通过使用matlab（程序见附件一）作图得出结果为：

由图可看出击中点约为（25,120)处击中敌艇，时间约为0.2778h。

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对于第二问因为模型中产生了迭代公式，可以通过vc++编程（程序见附件二）得到结果。

将T分为不同的较小的时间段来计算得到如下结果：

t’=0.1

t’=0.005

t’=0.0001

t’ i X[i] Y[i] S[i] T 0.1 0.01 0.005 0.001 0.0005 0.0001 4 27 54 267 534 2667 46.201914 33.621971 34.096002 33.119394 33.118306 33.039196 83.789704 111.396218 110.304326 110.185081 110.066058 110.097673 30.712284 1.496655 1.137390 0.136733 0.098501 0.013670 0.400000 0.270000 0.270000 0.267000 0.267000 0.266700

s[i]表示的是两个点的距离，根据表格可看出，s[i]逐渐减小，那么大约在 T时间段每个时间块分为0.0001h时，s[i]最接近于0，因此，导弹击中敌艇的坐标约为（33.039，110.098)，逃逸时间为0.2667h.

对第三问我们同样采用改进后的c++程序（程序见附件三）可以通过改变k

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的值得出逃逸时间，通过最长的逃逸时间来估测最优的逃逸角度。

k=pi/6

k=pi/2

k=7*pi/8

固定t’=0.001h时得出下表：

k i X[i] Y[i] S[i] T Pi/6 212 11.24778 94.04109 0.173059 0.212000 Pi/4 221 17.12751 95.87619 0.448943 0.221000 Pi/3 233 22.58017 98.96176 0.415778 0.233000 Pi/2 267 33.11939 110.18508 0.136733 0.267000 2*pi/3 314 39.53838 129.22317 0.117247 0.314000 3*pi/4 339 38.40231 142.04341 0.136807 0.339000 7*pi/8 370 25.92101 161.60602 0.278448 0.370000

根据上表可得，k=

7?时，逃逸时间最长。 8

根据一、二、三问可以得出如下相关结论：敌艇无论怎么逃离都会被导弹击中，但是敌艇可以通过改变速度大小来逃逸，也可以通过改变速度方向来逃逸。

敌艇以恒定水平90km/h的速度逃跑，逃逸时间约为0.2778h，导弹在（25,120)处击中敌艇，。然而敌艇改变成与导弹成90度的方向逃跑，虽然攻击比较复杂，但是导弹攻击到敌艇的时间缩短了，逃逸时间变为0.2667h，导弹击中敌艇的坐标约为（33.039，110.098)。之后敌艇根据选择最优逃逸角度来逃逸，最佳逃逸

7?角度为k=时，逃逸时间为0.3700h。

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七、模型检验

通过用matlab画出导弹的运行轨迹发现按此模型所求解大致符合实际情况。 第二题检验如下：

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