第二章 现在控制理论 线性系统的数学描述1 (2)

且个数等于微分方程的阶数。对于一般物理系统，微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数。因此，系统状态变量的个数又可以说等于系统中独立储能元件的个数。

状态向量：如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、?、xn(t)表示，并把这些状态变量看作是向量x(t)的分量，则向量x(t)称为状态向量。记为

?x1(t)???x2(t)?x(t)???????x(t)??n??

或

x(t)??x1(t),x2(t),?,xn(t)?T

状态空间：以状态变量x1(t)、x2(t)、?、xn(t)为坐标轴构成的n维空间。系统在任意时刻的状态x(t)都可用状态空间中的一个点来表示。已知初始时刻t0的状态x(t0)，可得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹线。

状态方程:描述系统的状态变量与系统输入量之间关系的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。

输出方程:描述系统输出量与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

状态空间表达式:状态方程与输出方程组合起来，就构成对一个系统动态的完整描述，称之为状态空间表达式。

通常，对于单变量系统(单输入单输出)，状态方程习惯写成如下形式

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?1?a11x1?a12x2???a1nxn?b1u?x??2?a21x1?a22x2???a2nxn?b2u?x????x??n?an1x1?an2x2???annxn?bnu (2.7)

输出方程为

写成矩阵向量形式为

式中x??x1,?a11?a21?A??????an1x2,?,xn?Ty?c1x1?c2x2??cnxn?du (2.8)

??Ax?Bu?x??y?Cx?du (2.9)

表示n维状态向量；

?b1???b2??，B????，C??c1????bn??n?1a12a22?an2???a1n??a2n????ann??n?nc2?cn?1?n，d

A、B、C、d分别表示系统内部状态的系数矩阵（系统矩阵）、输入对状态作用的输入矩阵、输出与状态关系的输出矩阵、直接联系输入量与输出量的直接传递函数（或称前馈系数）。

推广到p输入、q输出的系统，其状态空间表达式为

?i?ai1x1?ai2x2???ainxn?bi1u1?bi2u2???bipup (i?1,2,?n)x (2.10)

yj?cj1x1?cj2x2???cjnxn?dj1u1?dj2u2???djpup (j?1,2,?q) (2.11)

写成矩阵向量形式为

??Ax?Bu?x??y?Cx?Du (2.12)

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式中x和A同单变量系统。

u???u1u2?up??T 表示p维输入向量；

?b11?b21?B??????bn1y???y1b12b22?bn2y2????b1p??b2p????bnp??n?pyq??T 表示输入矩阵；

表示q维输出向量；

?c11?c21?C??????cq1?d11?d21?D??????dq1c12c22?cq2d12d22?dq2?????c1n??c2n??? ?cqn??q?nd1p??d2p????dqp??q?p表示输出矩阵；

表示直接传递函数矩阵。

?上述系统可简称为系统(A,B,C,D)。

用状态空间表达式描述的系统也可以用框图2-25表示系统的结构和信号传递的关系。图中的双线箭头表示向量信号传递。

uB+A+D?xx+yC+?dt图2-25 状态空间表达式的框图

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2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系

同一系统的两种不同模型（传递函数和状态空间表达式）之间存在内在的联系，并且可以互相转化。以下是对单输入、单输出系统的讨论。

设要研究的系统的传递函数为

该系统在状态空间可表示为

?=Ax?Bu xG(s)?Y(s)U(s) (2.13)

(2.14) (2.15)

y?Cx?Du

式中x为状态向量，u,y分别为输入量和输出量。在零初始条件假设下，方程(2.14)和(2.15)的拉氏变换为

所以有

(sI?A)X(s)?BU(s)

?1其中I为单位矩阵。用(sI?A)乘上式两边，有

L[f(n)(t)]?sF(s)

n(2.16)

sX(s)?AX(s)?BU(s)

Y(s)?CX(s)?DU(s)

将式(2.63)代入下式

X(s)?(sI?A)BU(s)

?1(2.17)

Y(s)?CX(s)?DU(s)

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因此有

Y(s)?[C(sI?A)B?D]U(s)

?1(2.18)

根据传递函数的定义可知，系统的传递函数与状态空间描述之间的关系为

G(s)?C(sI?A)B?D?1 (2.19)

对于单输入单输出系统：采用式(2.19)可以求出系统的传递函数； 对于多输入多输出系统：用式(2.19)求出的是用于描述多变量系统输入输出关系的传递函数矩阵。

2.5.3 状态空间表达式的建立

线性定常系统的状态空间表达式也可以由系统的微分方程或传递函数来建立。

情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点 考虑下列n阶系统

y(n)?a1y(n?1)??any?u???an?1y (2.20)

(2.21)

L?y(i)(t)??siY(s),LyL[yn(n)L?u(t)??U(s),

?(n)?a1y(n?1)??any?L?u? ???an?1y?]?a1L[yn?1(n?1)?]?anL[y]?L?u? ]???an?1L[ysY(s)?a1sY(s)???an?1sY(s)?anY(s)?U(s)n?1

?sn?a1s???an?1s?anY(s)?U(s)

?因此，其对应的传递函数为

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