第二章 现在控制理论 线性系统的数学描述1

第二章 线性系统的数学描述

数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：

第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；

例如：微分方程式、传递函数和差分方程。

第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；

它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。

第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。 同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。

许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型；

从这个意义上讲，数学模型表达了这些系统的共性，所以只要研究透了一种数学模型，也就能完全了解具有这种数学模型形式的各式各样系统的本质特征。

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2.1 线性系统的时域数学模型

对于单输入、单输出线性定常系统，采用下列微分方程来描述：

c(n)(t)?a1c(n?1)(t)?a2c?b0r(m)(n?2)?(t)?anc(t) (t)???an?1c(m?1)

(t)?b1r(t)?b2r(m?2)?(t)?bmr(t) (t)???bm?1r (2.1)

式中，r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号，c(n)(t)为c(t)对时间

t的n阶导数；ai(i?1,2,?n)和bj(j?0,1,?m)是由系统的结构参数决定的系

数。

一般情况下，列写控制系统运动方程的步骤是(建模过程):

首先，分析系统的工作原理及其各变量之间的关系，找出系统的输入量和输出量；

其次，根据系统运动特性的基本定律，一般从系统的输入端开始依次写出各元件的运动方程，在列写元件运动方程时，需要考虑相接元件间的相互作用；

最后，由组成系统各元件的运动方程中，消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程，并将其化为标准形式。

2.2 传递函数

控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外部作用和初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。

这种方法比较直观，特别是借助于电子计算机可以迅速而准确地求得结

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果。

但是，如果系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析和设计。

2.2.1 拉氏变换

拉氏变换是传递函数的数学基础，因此在讨论传递函数之前先简要介绍一下拉氏变换的有关概念、性质和结论。

1. 拉氏变换的定义

若将实变量t的函数f(t)乘上指数函数e?st（其中s???j?是一个复数），

并且在?0,???上对t积分，就可以得到一个新的函数F(s)，称F(s)为f(t)的拉氏变换，并用符号L[f(t)]表示。

F(s)?L[f(t)]????0f(t)e?stdt (2.2)

上式就是拉氏变换的定义式。从这个定义可以看出，拉氏变换将原来的实变量函数f(t)转化为复变量函数F(s)。通常将F(s)称作f(t)的象函数，将f(t)称作F(s)的原函数。常用函数的拉氏变换见附录A。

2.2.2 传递函数的定义和特点

一、 传递函数的定义

线性定常系统的传递函数为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

设线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述：

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a0c(n)(t)?a1c?b0r(n?1)(t)?a2c(n?2)?(t)?anc(t) (t)???an?1c(m?2)

(m)(t)?b1r(m?1)(t)?b2r?(t)?bmr(t) (t)???bm?1r (2.3)

(n)c(t)为c(t)对时间t的式中，r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号，

n阶导数；ai(i?0,1,?n)和bj(j?0,1,?m)是由系统的结构参数决定的常系数。

如果r(t)和c(t)及其各阶导数在t?0时的值均为零，即满足如下的零初始条件

?(0)?c??(0)???c(n?1)(0)?0c(0)?c(m?1)?(0)???r(0)?rr(0)???r(0)?0

则根据拉氏变换的定义和性质，对(2.3)进行拉氏变换，并令C(s)?L[c(t)]，

R(s)?L[r(t)]可得

由

得到

L[c(n)L[f(n)(t)]?sF(s)

n(2.4)

(t)]?sC(s)，L[r(n)(t)]?snR(s)

n

L[a0c(n)(t)?a1c?b0r(n?1)(t)?a2c(n?2)?(t)?anc(t)] (t)???an?1c(m?2)

(m)(t)?b1r(m?1)(t)?b2r?(t)?bmr(t) (t)???bm?1r (2.5)

[a0s?a1snn?1???an?1s?an]C(s)

m?1?[b0s?b1sm???bm?1s?bm]R(s)

由传递函数的定义可得系统(2.3)的传递函数为

G(s)?C(s)R(s)?b0s?b1snmm?1n?1???bm?1s?bm???an?1s?ana0s?a1s?M(s)N(s) (2.6) 12

式中

M(s)?b0s?b1smm?1???bm?1s?bm

N(s)?a0s?a1snn?1???an?1s?an

M(s)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和分母多项式。

2.5 线性系统的状态空间描述

状态空间描述是现代控制理论的基础，它不仅可以描述输入输出关系，而且可以描述系统的内部特性，特别适合于多输入多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。从这个意义上讲，状态空间描述是对系统的一种完全描述。

2.5.1 状态空间描述的基本概念

状态：指系统的运动状态。设想有一个质点作直线运动，这个系统的状态就是质点每一个时刻的位置和速度。

状态变量:指足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。若知道这些变量在任何初始时刻t0的值和t?t0时系统所加的输入函数，便可完全确定在任何t?t0时刻的状态。

一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就完全披揭示了。因此可以说，系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。需要指出，对同一个系统，选取哪些变量作为状态变量并不是唯一的，但这些变量必须是互相独立的，

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