两式相减得：
S?2?12n?1?n2n
例题11. 已知函数f(x)?log3(ax?b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，记
an?3f(n),n?N* .（1）求数列{an}的通项公式；
an,Tn?b1?b2???bnn2（2）设，若Tn?m(m?Z)，求m的最小值；
111(1?)(1?)?(1?)?p2n?1a1a2an（3）求使不等式对一切n?N*均成立的最大实数p.
bn??log3(2a?b)?1?a?2??log(5a?b)?2解：（1）由题意得?3，解得?b??1，
?f(x)?log3(2x?1) an?3lo3g(2n?1)?2n?1,n?N* 2n?11352n?32n?1bn??T???????nnn123n?12， 22222 ① （2）由（1）得
1132n?52n?32n?1Tn???????n?1222232n?12n2 ② ①－②得
1122222n?111111Tn?1?2?3???n?1?n?n?1?1?(1?2???n?2?n?1)2222222222222n?1312n?112n?12n?3?n?1??n?1?n?1?Tn?3?n?2??3?2222n2n， 22.
2n?3*,n?N2n设，则由 2n?5n?1f(n?1)2n?511112???????12n?32(2n?3)22n?325f(n)2n 2n?3*f(n)?,n?N2n得随n的增大而减小 f(n)??当n???时，Tn?3又Tn?m(m?Z)恒成立，?mmin?3
1111p?(1?)(1?)?(1?)对n?N*a1a2an2n?1 （3）由题意得恒成立
F(n)? 记
1111(1?)(1?)?(1?)a1a2an，则 2n?1 6
F(n?1)?F(n)?1111)(1?)?(1?)(1?)aaaa2n?312nn?11111(1?)(1?)?(1?)a1a2an2n?1(1??2(n?1)4(n?1)2?(n?1)?12n?2(2n?1)(2n?3)2?n?1??12?n?1?
?F(n)?0,?F(n?1)?F(n),即F(n)是随n的增大而增大
F(n)的最小值为
F(1)?2223?p?3pmax?3333，，即.
（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.
*例题12. 数列{an}中，a1?8,a4?2且满足an?2?2an?1?an，n?N. ⑴求数列{an}的通项公式；
⑵设Sn?|a1|?|a2|???|an|，求Sn；
1**⑶设bn=n(12?an)(n?N),Tn?b1?b2??bn(n?N)，是否存在最大的整数m，使得
m*对任意n?N，均有Tn?32成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，an?2?an?1?an?1?an，?{an}为等差数列，设公差为d， 由题意得2?8?3d?d??2，?an?8?2(n?1)?10?2n. （2）若10?2n?0则n?5，n?5时,Sn?|a1|?|a2|???|an|
?a1?a2??an?8?10?2n?n?9n?n2,2
n?6时，Sn?a1?a2???a5?a6?a7??an
?S5?(Sn?S5)?2S5?Sn?n2?9n?40
2??9n?nn?5Sn??2??n?9n?40 n?6 故
11111bn???(?)n(12?an)2n(n?1)2nn?1， （3）
n1111111111??[(1?)?(?)?(?)??(?)?(?)]2(n?1).T22334n?1nnn?1?n2 mnmTn??**32对任意n?N成立，即n?116对任意n?N成立， 若
1m1n??,(n?N*)n?1的最小值是2，162?m的最大整数值是7.
即存在最大整数m?7,使对任意n?N，均有
*Tn?m.32
a例题13. 已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn?3n,n?N*.
7
（1）判断{an}是何种数列，并给出证明； （2）若a8?a13?m,求b1b2b20.
解：（1）设{bn}的公比为q，∵bn?3n，∴3a1?qn?1?3an?an?a1??n?1?log3q。 所以{an}是以log3q为公差的等差数列.
a（2）∵a8?a13?m,所以由等差数列性质可得a1?a20?a8?a13?m,
a1?a2?a3?…
?a20?(a1?a20)?20?10m?b1b22b20?3(a1?a2??a20)?310m
2. 由简单递推关系证明等差等比数列
例题14. 已知数列{an}和{bn}满足：a1?1，a2?2，an?0，bn?anan?1（n?N*）， 且{bn}是以q为公比的等比数列.
2a?aqn?2n（I）证明：；
（II）若cn?a2n?1?2a2n，证明：数列{cn}是等比数列； 111111??????a2n?1a2n. （III）求和：a1a2a3a4an?1an?2an?2bn?1??q?q2aaannn?1解法1：（I）证：由bn，有，∴an?2?anq?n?N*?.
2（II）证：∵an?an?2q，
?a2n?1?a2n?3q2??a1q2n?2，a2n?a2n?2q2?...?a2q2n?2，
?cn?a2n?1?2a2n?a1q2n?2?2a2q2n?2?(a1?2a2)q2n?2?5q2n?2.
??cn?是首项为5，公比为q2的等比数列.
1（III）解：由（II）得a2n?1?12?2n112?2nq?q2n2a1a，a，于是 ?1a2n?1)?(11??a2a4??1q2n?211??a1a2?
?111?(??a2na1a3?)?2n?211)a2n )
111(1?2?4?a1qqq111(1?2?4?a2qq
311?(1?2?1?2qq?1q2n?2).
11??当q?1时，a1a211??当q?1时，a1a2?1311?(1?2?4?a2n2qq1311?(1?2?4?a2n2qq?q3)?n2n?21)
12.
??q2n?2 8
31?q?2n3q2n?1?()?[2n?22]21?q?22q(q?1).
11??a1a2故
?3n， q?1，?21????q2n?1a2n??[2n?22]，q?1.??q(q?1)?
解法2：（I）同解法1（I）.
cn?1a2n?1?2a2n?2q2a2n?1?2q2a2n???q2(n?N*)a2n?1?2a2na2n?1?2a2n（II）证： cn，又c1?a1?2a2?5，
??cn?是首项为5，公比为q2的等比数列.
（III）由解法1中（II）的类似方法得a2n?1?a2n?(a1?a2)qa?a2na?a2a3?a4111????1???2n?1a1a2a2na1a2a3a4a2n?1a2n，
2n?2?3q2n?2，
a2k?1?a2k3q2k?23?2k?2?4k?4?qa2k?1a2k2q22，，n. ，k?1，11...13????1?q?2?...?q?2n?2a2n2∴a1a2.
??
例题15. 设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn?(1??)??an,其中???1,0 （1）证明：数列（2）设数列求数列
{an}是等比数列；
n
{an}的公比q?f(?)，数列{bn}满足b1?，b=f （b
（n∈N*，n≥2），n－1）
{bn}的通项公式；
1?1)，求数列{Cn}的前n项和Ｔn. bn（1）证明：由Sn?(1??)??an?Sn?1?(1??)??an?1(n?2)
an?a???a??a,??(n?2),∴数列{an}是等比数列 相减得：nnn?1an?11??（3）设??1，Cn?an(（2）解：
111?{}是首项为?2，公差为1的等差数列，∴?2?(n?1)?n?1. ?bn?1.
b1bnbnn?11n?111n?1,a?(),?C?a(?1)?()n 3（）解：??1时nnn2bn211?Tn?1?2()?3()2?22
1?n()n?1 ①
29
①－②得：
n??1?n?1?1?Tn?2?1?????n??2?2????2???∴
11所以：Tn?4(1?()n)?2n()n.
22②
例题16. ?OBC的各个顶点分别为(0,0),(1,0),(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段OC的中点，P3为线段OP1的中点. 对每一个正整数n,Pn?3为线段PnPn?1的中点. 令Pn的坐标为(xn,yn)，an?1yn?yn?1?yn?2. 2（1）求
a1,a2,a3及an,(n?N)；
?
yn,(n?N?) 4?（3）记bn?y4n?4?y4n,(n?N)，证明：{bn}是等比数列.
13（1）解：因为y1=y2=y4=1， y3=，y5=，所以 得a1=a2=a3=2.
24y?yn?1又由yn?3?n，对任意的正整数n有
2y?yn?1111an+1=yn?1?yn?2?yn?3=yn?1?yn?2?n=yn?yn?1?yn?2=an
2222（2）证明：yn?4?1?恒成立，且a1=2， 所以{an}为常数数列， an=2，（n为正整数）
yy?yn?21（2）证明：根据yn?4?n?1， 及yn?yn?1?yn?2=an=2， 易证得yn+4=1－n
242（3）证明：因为bn+1=y4n?8?y4n?4=（1－又由b1=y8?y4=1－
y4n?4y1）－（1－4n）=?bn， 444y41?y4=?， 4411??所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列.
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