精选高中数学数列分类典型试题及答案

精选高中数学数列分类典型试题及答案

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

n?1{a}a?1,a?3?an?1(n?2). n1n例题1. 已知数列满足

（1）求a2,a3；

3n?1an?2. （2）证明：

2解：（1）a1?1,?a2?3?1?4,a3?3?4?13.

n?1a?a?3nn?1（2）证明：由已知，故an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)

?a1?3

n?1?3n?2?3n?13n?1?3?1?a?2， 所以证得n2.

例题2. 数列?（Ⅰ）求?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1)

bn?的各项为正，a?1,22b3,a3?b其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?ban?的通项公式；

（Ⅱ）等差数列?成等比数列，求Tn.

解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1(n?2)， 两式相减得：an?1?an?2an,an?1?3an(n?2)，

a又a2?2S1?1?3∴a2?3a1 故?n?是首项为1，公比为3的等比数列

∴an?3n?1

（Ⅱ）设?bn?的公比为d，由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5

故可设b1?5?d,b3?5?d，又a1?1,a2?3,a3?9，

2由题意可得(5?d?1)(5?d?9)?(5?3)，解得d1?2,d2?10

∵等差数列?∴

bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2

Tn?3n?n(n?1)?2?n2?2n2

例题3. 已知数列?⑴求数列?an?的前三项与数列?bn?的前三项对应相同，且a1?2a2?22a3?...

?2n?1an?8n对任意的n?N*都成立，数列bn?1?bn是等差数列.

??an?与?bn?的通项公式；

?⑵是否存在k?N，使得bk?ak?(0,1)，请说明理由.

n?12n?12an??a?2a?2a?...?2a?8n23n点拨：（1）1左边相当于是数列前n项和的形式，

可以联想到已知Sn求an的方法，当n?2时，Sn?Sn?1?an.

1

（2）把bk?ak看作一个函数，利用函数的思想方法来研究bk?ak的取值情况.

n?12解：（1）已知a1?2a2?2a3?…?2an?8n(n?N*）①

2n?2n?2时，a1?2a2?2a3?…?2an?1?8(n?1)(n?N*）②

4?nn?1a?22a?8nn①－②得，，求得，

在①中令n?1，可得得a1?8?24?n4?1，

所以an?2(n?N*）.

由题意b1?8，b2?4，b3?2，所以b2?b1??4，b3?b2??2， ∴数列{bn?1?bn}的公差为?2?(?4)?2， ∴bn?1?bn??4?(n?1)?2?2n?6，

?(2n?8)?n2?7n?14(n?N*）.

bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)??(?4)?(?2)??(bn?bn?1)

24?k（2）bk?ak?k?7k?14?2，

77f(k)?(k?)2??4?k242单调递增，且f(4)?1， 当k?4时，

所以k?4时，f(k)?k?7k?14?2又f(1)?f(2)?f(3)?0，

24?k?1，

所以，不存在k?N*，使得bk?ak?(0,1).

例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn 解： 依题意得：

2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ②

∵ an、bn为正数， 由②得an?1?bnbn?1,an?2?bn?1bn?2， 代入①并同除以bn?1得： 2bn?1?bn?bn?2 ， ∴ {bn}为等差数列

∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ，

2a2?b1b2,则b2?92 ，

92(n?1)2bn?2?(n?1)(?2)?(n?1),?bn?222 ， ∴

n(n?1)an?bnbn?1?2∴当n≥2时，， n(n?1)an?2又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴

2. 研究前n项和的性质

n{a}S?a?2?b，且a1?3. nnn例题5. 已知等比数列的前项和为

2

（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式；

nbn?an，求数列{bn}的前n项和Tn. （2）设

解：（1）n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1n?1?a.而{an}为等比数列，得a1?21?1?a?a，

又a1?3，得a?3，从而an?3?2.又a1?2a?b?3,?b??3. nn123nbn??T?(1????)n?1n2n?1a3?2n3222（2），

11123Tn?(?2?3?23222?n?1n1111?T?(1???n2n?12n） ，得23222?1n?)2n?12n，

11?(1?n)22?n]?4(1?1?n)Tn?[31?12n32n2n?12.

1例题6. 数列{an}是首项为1000，公比为10的等比数列，数列{bn}满足

1bk?(lga1?lga2??lgak)*k (k?N)，

（1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn.

的等差数列，

∴

4?na?10n解：（1）由题意：，∴lgan?4?n，∴数列{lgan}是首项为3，公差为?1?lga1?lga2??lgak?3k?k(k?1)1n(n?1)7?nbn?[3n?]?2，∴n22

?bn?021?S?S?672. 由?bn?1?0，得6?n?7，∴数列{bn}的前n项和的最大值为

（2）由（1）当n?7时，bn?0，当n?7时，bn?0，

7?n3?2)n??1n2?13nSn??b1?b2??bn?(244 ∴当n?7时，当n?7时，

113?bn)?n2?n?2144

Sn??b1?b2??b7?b8?b9??bn?2S7?(b1?b2?

?1213?n?n(n?7)??44Sn????1n2?13n?21(n?7)?4?4∴.

例题7. 已知递增的等比数列{an}满足a2?a3?a4?28，且a3?2是a2，a4的等差中项. （1）求{an}的通项公式an；（2）若

bn?anlog1an2，Sn?b1?b2??bn求使

3

Sn?n?2n?1?30成立的n的最小值.

解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由

1a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=2∴an=2·2

（n－1）

（舍）

=2n

2（2） ∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n） ∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2， 若Sn+n ·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.

bn?anlog1an??n?2n

*例题8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且?1,Sn,an?1成等差数列，n?N,a1?1. 函数f(x)?log3x.

（I）求数列{an}的通项公式； （II）设数列{bn}满足

bn?1(n?3)[f(an)?2]，记数列{bn}的前n项和为T，试比较

n

52n?5Tn与?12312的大小. 解：（I）?1,Sn,an?1成等差数列，?2Sn?an?1?1① 当n?2时，2Sn?1?an?1②.

①－②得：2(Sn?Sn?1)?an?1?an，?3an?an?1，当n=1时，由①得?2S1?2a1?a2?1， 又a1?1,?an?1?3.an

a2?3,a1

?a2?3,?

?{an}是以1为首项3为公比的等比数列，?an?3n?1.

n?1???f(a)?loga?log3?n?1， fx?logx3n3n3（II）∵，11111bn???(?)(n?3)[f(an)?2](n?1)(n?3)2n?1n?3，

1111111111111?Tn?(????????????)224354657nn?2n?1n?3

2n?511111?5??(???)122(n?2)(n?3),223n?2n?3

52n?5Tn与?12312的大小，只需比较2(n?2)(n?3)与312 的大小即可. 比较

又2(n?2)(n?3)?312?2(n2?5n?6?156)?2(n2?5n?150)?2(n?15)(n?10)

52n?52(n?2)(n?3)?312,即T??;**nn?N,1?n?9且n?N12312∵∴当时，

52n?52(n?2)(n?3)?312,即Tn??;n?1012312当时，

52n?52(n?2)(n?3)?312,即Tn??*12312. 当n?10且n?N时，

3. 研究生成数列的性质

4

nn例题9. （I） 已知数列?cn?，其中cn?2?3，且数列?cn?1?pcn?为等比数列，求常数p；

（II） 设?an?、?bn?是公比不相等的两个等比数列，cn?an?bn，证明数列?cn?不是

等比数列.

解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有 （cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1）， 将cn=2n＋3n代入上式，得 ＋＋

[2n1+3n1－p（2n＋3n）]2

＋＋－－=[2n2+3n2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n1＋3n1）]， 即[（2－p）2n+（3－p）3n]2

－－=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n1+（3－p）3n1]，

1整理得6（2－p）（3－p）·2n·3n=0，

解得p=2或p=3. （Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证c2≠c1·c3.

事实上，c2=（a1p＋b1q）2=a1p2＋b1q2＋2a1b1pq，

c1·c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= a1p2＋b1q2＋a1b1（p2＋q2）. 由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，

2c?c1·2因此c3，故{cn}不是等比数列.

222222

例题10. n2（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成

13a42?,a43?816 等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，

求S=a11 + a22 + a33 + … + ann 解： 设数列{a1k}的公差为d， 数列{aik}（i=1，2，3，…，n）的公比为q

则a1k= a11 + （k－1）d ， akk = [a11 + （k－1）d]qk1 －

??a24?(a11?3d)q?1?1?3?a42?(a11?d)q?8?3?13a?(a?2d)q?11?4316，解得：a11 = d = q = ±2 依题意得：?又n2个数都是正数，

1kk∴a11 = d = q = 2 ， ∴akk = 2 S?1111?2?2?3?3???n?n2222， 11111S?2?2?3?3?4???n?n?122222，

5

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