精选高中数学数列分类典型试题及答案 (3)

【模拟试题】

一、填空题

1. 在等差数列｛an｝中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于= . 2. 已知数列的通项an??5n?2，则其前n项和Sn? .

3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是 .

24. 在等比数列{an}中，a3和 a5 是二次方程 x?kx?5?0 的两个根，则a2a4a6 的值为 .

5. 等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n= . 6. 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为________

An7n?45a7?{b}B{a}Bn?3，b7= 7. 已知两个等差数列n和n的前n项和分别为An和n，且nan ，若bn为正整数，n的取值个数为___________。

8. 已知数列?an?对于任意p，q?N，有ap?aq?ap?q，若

9. 记数列{an}所有项的和为S(1)，第二项及以后各项的和为S(2)，第三项及以后各项的

*a1?19，则a36? .

和为 S(3),?，第n项及以后各项的和为S(n)，若S(1)?2，S(2)1S??1，(3)2,，

S(n)?12n?2,，则an等于 .

10. 等差数列{an}共有2n?1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项

为_____.

2{a}a?0a?am?1m?am?1?0，S2m?1?38，则m的值11. 等差数列n中，n，若且m?1为 .

12. 设Sn为等差数列{an}的前n项和. 已知S6?36,Sn?324,Sn?6?144(n?6)，则n等于 .

13. 已知函数f(x)定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f(x?2)?2f(x?1)

?f(x)，且f(1)?2,f(3)?6，则f(2005)?__ __.

14. 三个数a,b,c成等比数列，且a?b?c?m(m?0)，则b的取值范围是 .

15. 等差数列{an}中，前n项和为Sn，首项a1?4,S9?0. （1）若an?Sn??10，求n （2） 设bn?2an，求使不等式b1?b2??bn?2007的最小正整数n的值.

点拨：在等差数列中an,Sn,n,d知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项a1与公差d，把an,Sn分别用首项a1与公差d，表示即可. 对于求和公式Sn?n(a1?an)，2 11

n(n?1)d采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更2简单一些. 例如：已知a9?0,a10?0,a9?a10?0,判断S17,S18,S20的正负. 问题2在思考时要注Sn?na1?意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?1?2，S3?9?32. （I）求数列{an}的通项an与前n项和为Sn； （II）设

bn?Sn*n（n?N），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

,Pn(xn,yn)1(x1,y1),P2(x2,y2)17. 在直角坐标平面上有一点列P，对一切正整数n，点Pn位

于函数

y?3x?513?4的图象上，且Pn的横坐标构成以2为首项，?1为公差的等差数列{xn}.

⑴求点Pn的坐标；

⑵设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的

2D(0,n?1)，设与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：Pnn顶点为，且过点

111???k1k2k2k3kn?1kn.

xnn,?Nn,?⑶设S??x|x?2?1T,??yy?|yn4n?,?，1等差数列{an}的任一项

an?S?T，其中a1是S?T中的最大数，?265?a10??125，求{an}的通项公式.

*18. 已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N)，

（1）求数列?an?的通项公式； （2）若数列?an?满足4数列.

b1?1b2?144bn?1?(an?1)bn(n?N*)（n∈N*），证明：?bn?是等差

12

【试题答案】

1. 42

n(5n?1)22. 8(,3]3. 3 ?4. ?55 5. 10 6. 210 7. 8.5；5个

解法一：点拨 利用等差数列的求和公式

?2m?p?q,m,p,q?N“若，则

Sn?(a1?an)n2及等差数列的性质

”

am?ap?aq2(a1?a13)?13A13172?a7(b?b)?13B?211313b2解析：7=

解法2： 点拨 利用“若{an}为等差数列，那么Sn?an?bn”这个结论，根据条件 找出an和bn的通项.

解析：可设An?kn(7n?45)，Bn?kn(n?3)，则an?An?An?1?k(14n?38)，

2a7k(14?7?38)17?b2 bn?k(2n?2)，则7=k(2?7?2)ank(14n?38)1212?7?n?1，显然只需使n?1为正整数即可， 由上面的解法2可知bn=k(2n?2)故n?1,2,3,5,11，共5个.

点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1. 8. 4

11?2n?22n?12n?1. 9. 解：

?(n?1)an?1?319?a10. 解：依题意，中间项为n?1，于是有?nan?1?290解得an?1?29.

an?S(n)?S(n?1)??11. 解：由题设得am?am?1?am?1?2am，而am?0，?am?2，又

21S2m?1?38，

13

?38?(a1?a2m?1)(2m?1)2am(2m?1)??2(2m?1)22，m?10.

12. 解：S6?(Sn?Sn?6)?6(a1?an)?36?(324?144)?216， a1?an?36， Sn?n(a1?an)?3242. ∴n?18。

*13. 解：由f(x?2)?f(x)?2f(x?1)知函数f(x)(x?N)当x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，f(1),f(3),,f(2005)形成一个首项为2，公差为4的

等差数列，f(2005)?2?(1003?1)?4?4010.

bb1ma?,c?bq?b?bq?m,b?0,??q?1?qqb. 14. 解：设，则有qm1m??q?1?3?0?b?3； 当q?0时，bq，而b?0，

m1m??q?1??1??1当q?0时，bq，即b，而m?0，?b?0，则?m?b?0，

mb?[?m,0)?(0,]3. 故

15. 解：（1）由S9?9a1?36d?0，得：d??1,an?5?n，

n(n?1)?(?1)??10. 又由an?Sn??10,4?(n?1)(?1)?4n?2即n2?7n?30?0，得到n?10. （2）由bn?25?n

若n≤5，则b1?b2??bn≤b1?b2??b5?31，不合题意

2(2n?5?1)?2007 故n>5，b1?b2?bn?31?2?1即2n?5?989，所以n≥15，使不等式成立的最小正整数n的值为15

??a1?2?1，??3a1?3d?9?32，?d?2， 16. 解答：（I）由已知得?故an?2n?1?2，Sn?n(n?2). （Ⅱ）由（Ⅰ）得

bn?Sn?n?2n.

2b?bpbr. b,b,b{b}p,q,rqpqrn假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则

2即(q?2)?(p?2)(r?2).

?(q2?pr)?(2q?p?r)2?0

p，q，r?N?，

14

?q2?pr?0，p?r2???()?pr，(p?r)2?0，?p?r2q?p?r?0，?2 .

与p?r矛盾.

53xn???(n?1)?(?1)??n?22 17. 解：（1）

13535?yn?3?xn???3n?,?Pn(?n?,?3n?)4424

（2）?cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn. ?设cn的方程为：

y?a(x?2n?3212n?5)?,24

222把Dn(0,n?1)代入上式，得a?1，?cn的方程为：y?x?(2n?3)x?n?1.

11111???(?)kn?y'|x?0?2n?3，kn?1kn(2n?1)(2n?3)22n?12n?3

11111?[(?)?(?)?kn?1kn2577911111(?)??=252n?3104n?6.

（3）S?{x|x??(2n?3),n?N,n?1}， ??11??k1k2k2k31?(11?)]2n?12n?3

T?{y|y??(12n?5),n?N,n?1}?{y|y??2(6n?1)?3,n?N,n?1} ?ST?T,T 中最大数a1??17.

设{an}公差为d，则a10??17?9d?(?265,?125)，由此得

?248?d??12,又an?T?d??12m(m?N*)9

?d??24,?an?7?24n(n?N*)

*18. （1）解：an?1?2an?1(n?N), ?an?1?1?2(an?1),

??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列. ?an?1?2n. 即 an?2n?1(n?N*).

kn?1k1?1k2?1?(an?1)kn. （2）证：44...4?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn.

?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ①

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ②

②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,③ nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.④

③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,

*b?2b?b?0,?b?b?b?b(n?N), n?2n?1nn?2n?1n?1n即 ??bn?是等差数列.

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