第27讲 一阶线性微分方程、伯努利方程

浙江省精品课程--高等数学AⅠ教案（同济六版）2013----------宁波工程学院

补讲2 常数变易法、可降阶方程

1、主要教学目标

1、一阶线性微分方程的标准形式及其解法；

2、三种可降阶微分方程的解法；

2、重点内容

1、一阶线性微分方程的解法及解的结构； 2、常数变易法；

3、三种可降阶微分方程的解法。 3、难点分析

1、用变量代换将伯努利方程转化为线性方程并求解； 2、常数变易法、用变量代换法求解微分方程。 4、对教材的处理及其教学提示

微分方程求解重在掌握思想方法，积分运算不宜过难，淡化伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法

5、作业布置P315-1（1）； 2（1）；3； P323-1（1、5、7）；4

一、线性方程

?P(x)dx. 1、通解公式 y?Ce?2、非齐次线性方程的解法----常数变易法

实质: 未知函数的变量代换。新未知函数u(x)?原未知函数y(x),

?P(x)dx?P(x)dxP(x)dx?u(x)[?P(x)]e?, 作变换y?u(x)e?，求导 y??u?(x)e??P(x)dxP(x)dx?Q(x),积分得 u(x)??Q(x)e?将y和y?代入原方程得u?(x)e?dx?C,

3、非齐通解公式

y?[?Q(x)e?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dxP(x)dxdx?C]e??Ce??e???Q(x)e?dx

?P(x)dxP(x)dx?P(x)dx注意：Ce?对应齐次方程通解，e??Q(x)e?dx非齐次方程特解

?例1求方程y??1sinxy?的通解. xx?11?sinx?xdx1?xdx???y?e?edx?C??cosx?C?. ?解答要点： ??x?x??3例2 如图所示，平行与y轴的动直线被曲线y?f(x)与y?x(x?0)

截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线f(x).

1

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解答要点：

?x0f(x)dx?(x3?y)2,?x0ydx?x3?y,两边求导得y??y?3x2,

解此微分方程y?e??dx??C?3x2e?dxdx??Ce?x?3x2?????6x?6,

由y|x?0?0,得C??6,所求曲线为 y?3(?2e?x?x2?2x?2).

二、伯努利方程

1、伯努利方程 y??P(x)y?Q(x)yn(n?0,1)

当n?0,1时，方程为线性微分方程；当n?0,1时， 方程为非线性微分方程. 2、解法

需经过变量代换z?y1?n化为线性微分方程， 即dzdx?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x),?y1?n?z?e??(1?n)P(x)dx(?Q(x)(1?n)e?(1?n)P(x)dxdx?C).

例 3 求方程dydx?4xy?x2y的通解. 解答要点：两端除以yn，得1dyydx?4xy?x2, 2令z?y,2dzdx?4xz?x2,解得z?x2??x?2?C???x??,即y?x4??2?C??.

三、三种可降阶微分方程的解法 1. y(n)?f(x)型微分方程

例 1求方程y????e2x?cosx的通解.

2. y???f(x,y?)型方程

例 2求方程(1?x2)y???2xy?的通解.

3. y???f(y,y?)型方程

例 3求方程yy???y?2?0的通解. 解答要点：设y??p(y),则y???pdPdy,代入原方程得 2

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y?PdPdy?P2?0,即P(y?dPdy?P)?0,由y?dPdy?P?0，可得P?C1y,

?dy?C1y,原方程通解为y?C2ec1xdx. 例 4求方程yy???y?2?0的通解. 解答要点：将方程写成

ddx(yy?)?0,故有yy??C1,即ydy?C1dx, 积分后得通解y2?C1x?C2.

四、小结

1、线性非齐次方程令y?u(x)e??P(x)dx；2、伯努利方程令y1?n?z。

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