金融风险管理计算题

1、计算银行利率敏感性资金缺口及对银行收益的影响。

“缺口”实际就是利率敏感性资产和利率敏感性负债之间的差额。 用公式表示：

Gap = IRSA－IRSL

当Gap＞0为正缺口；当Gap＜0为负缺口；当Gap＝0为零缺口

例如：某银行在某考察期内有重新定价的CDs500万元，30天商业票据贴现200万元，均以90天国库券利率为基准，前者与国库券利率相对变动比率为105%，后者为30%。如不考虑标准化问题，则资金缺口为：

GAP=200–500=–300（万元）

如考虑标准化问题，则资金缺口为：

GAP=200×30%–500×105% =–465（万元）

显然，后者更能准确反应银行资产与负债的利率敏感性匹配程度。 资金缺口与净利息收入

有了缺口，我们就要进一步分析净利息收入对市场利率变动的敏感程度，它们之间的关系用公式表示： 如果用△NⅡ表示净利息收入变动额，用GAP表示利率敏感性资金缺口，用△IR表示利率变动额，则有： △NⅡ=GAP·△IR

在上述表中，银行一天的缺口为-10亿元，如果利率上升1%，则该银行就要减少10万元。反之，如果利率下降1%，则该银行就要增加10万元。

缺口、利率变动与净利息收入的关系。 缺口 利率变动 收入变动 增 加 减 少 增 加 减 少 增 加 减 少 = = ﹥ ﹥ ﹤ ﹤ 支出变动 净收入变动 增 加 减 少 增 加 减 少 增 加 减 少 不变动 不变动 增 加 减 少 减 少 增 加 零 上 升 零 下 降 正 上 升 正 下 降 负 上 升 负 下 降 2、计算银行持续期缺口及对银行净值的影响。

例如：一张债券面值为1000元，期限为6年，年利率8%，每年付息一次，到期还本，则其持续期计算为： 时间t CFt PV 1 80 74.07 74.07 2 80 68.59 137.18 3 80 63.51 190.53 4 80 58.80 235.20 5 80 54.45 272.25 6 1080 680.58 4083.48 合计 1480 1000 4992.71 t×PV D D=4992.71÷1000=4.99271（年）＜6年 如果利率变动较大，则可以通过一个新概念－修正持续期来反映这种线性关系。

DM?D

?1?i?

如上例的修正持续期DM =4.99÷(1+8%)=4.62,它表明如果市场利率上升或下降1%，债券价格则相应下降或上升4.62%。

假如利率从8%上升到9%，则该证券价格就为P=1000－1000×4.62×1%=953.8元，下跌了46.2元。

有了修正持续期我们就能很容易将利率变动转换成价格的变动。

例如：有一笔100万元的贷款，期限2年，年利率8%，每半年付息一次，如果当市场利率上升到10%，试计算该贷款的价值对利率变动的敏感性。

第一步：先计算半年期的持续期。

D半年?104444?1??2??3??41?0.05234(1?0.05)(1?0.05)(1?0.05)104444???1?0.1(1?0.05)2(1?0.05)3(1?0.05)4

=3.77046（半年）

第二步：换算成一年的持续期

D年 =D半年÷2 = 3.77046÷2=1.8852（年） 第三步：计算修正持续期

DM?D1.8852??1.7138 ?1?i?1?10%即如果市场利率上升或者下降1%，那么该证券的价格就会相应下降或上升1.7138%。 3.持续期缺口的计算 根据：

dPD??di （1）

?1?i?P将资产与负债组合的价格变动分别表示：

dAA??DA?di1?i

didA??DA?A? （2）

1?iL

dLLdi??DL?1didL??D?L? （3） ?i

1?i 我们知道，银行市值的变化等于资产市值的变化减去负债市值的变化。

即 dE=dA－dL，将 （2）和（3）代人，有：

di??di??dE???DA?A?????DL?A?? （4）

1?i??1?i??假设利率的影响对资产与负债是一样的，则有：

L?di?dE???DA?DL??A? （5）

A?1?i?L??D?D这里，?A?就是持续期缺口。 LA??

从（5）式中我们可以看出，银行的净值受三个因素的影响：持续期缺口、资产规模和市场利率的变动。由于资产规模大于零，所以银行净值主要取决于持续期的性质（即正缺口还是负缺口）、规模（即缺口的大小）以及利率变动的方向（即上升还是下降）与幅度。三者关系如下表： 久期缺口 正缺口 正缺口 负缺口 负缺口 零缺口 零缺口 资产 现金 3年贷款 利率变动 上升 下降 上升 下降 上升 下降 市值 1000 8000 利率 0 12% 15% -- 资产现值 减少 增加 减少 增加 减少 增加 持续期 0 2.7 3.9 2.55 增减对比 > > < < = = 负债与权益 1年存款 3年大额存单 总负债 权益 总计 负债现值 减少 增加 减少 增加 减少 增加 市值 5000 4000 9000 1000 10000 利率 8% 10% 股权市值 减少 增加 增加 减少 不变 不变 持续期 1 2.7 1.76 例如某银行的资产负债表如下表，如果市场利率上升1%，银行的市场净值会发生怎样的变化？

五年贷款 1000 总计 10000 注意：贷款利息是每年支付一次，到期一次还本；大额存单也是每年付息一次，到期一次还本。

计算各项资产与负债的持续期已经填在表中了，现在就是要求资产的综合持续期和负债的综合持续期，计算出持续期缺口。

总资产综合持续期=（8000/10000×2.7+1000/10000×3.9）=2.55（年） 总负债综合持续期=（5000/9000×1+4000/9000×2.7）=1.76（年） 持续期缺口=2.55－（1.76×9000/10000）=0.97（年）

净利息收入=8000×12%+1000×15%－5000×8%+4000×10%=310（万元）

如果市场利率上升1%，则有：

3年贷款的价值减少=0.01/1.12×2.7×8000 =192（万元）

5年贷款的价值减少=0.01/1.15×3.9×1000 =34（万元）

1年期存款价值减少=0.01/1.08×1×5000 =46（万元）

3年期存款价值减少=0.01/1.10×2.7×4000 =98（万元）

净利息收入==7808×13%+966×16%－4954×9%+3902×11%=294.5（万元） 净利息收入减少=310－294.5=15.5（万元） 资产实际减少=192+34=226（万元） 负债实际减少=46+98=144（万元） 银行净值减少=226-144=82（万元）

利率变化对银行市值的影响 资产 现金 市值 1000 利率 0 持续期 0 负债与权益 1年存款 市值 4954 利率 9% 持续期 1

3年贷款 五年贷款 总计 7808 966 9774 13% 16% -- 2.67 3.79 2.51 3年大额存单 总负债 权益 总计 3902 8856 918 9774 11% 2.7 1.75 例如：某债券的面值为100元，期限2年，年利率6%，每半年付息一次，如果利率不变，试计算其凸性？如果利率上升1%，债券价格在不考虑凸性的情况下，价格的变动？在考虑凸性的情况下，价格的变动？ 周期（半年） t 1 2 3 4 合计∑ 半年 一年 修正持续期 现金流 CFt 3 3 3 103 现值 PVt（6%） 2.913 2.828 2.745 91.514 100 持续期项 t×PVt 2.913 5.656 8.236 366.657 382.861 D半年=3.83 D年=1.91 DM= 1.80 凸性项 2t(t+1) PVt／(1+i) 5.491 15.993 31.045 1725.218 1777.755 C半年= 17.78 C年=4.44 现在如果市场利率上升1%，该证券的价格变动如下： ①如果不考虑凸性的影响，结果为：

1.91?P???100?1%??1.8019

1?6%P=100－1.8019=98.1981

②如果考虑凸性的影响，结果为：

1.911?P??100?1%??4.44?100?(1%)2

1?6%2 =-1.8019+0.0222

=-1.7797

P=100－1.7797=98.2203 同样道理，如果利率下降1%，不考虑凸性影响，债券价格为101.8019元；考虑凸性的影响，债券价格则为101.8241元。

由此可见，在考虑了凸性的影响之后，当市场利率上升时，债券价格的下降幅度更慢；当市场利率下降时，债券价格的上升幅度更快。换而言之，无论利率如何变化，凸性效应都对投资者有利。

但对于隐含有期权性的金融工具来说，其凸性为负值，其结果正好相反，即对投资者不利。

远期利率协议的利息

远期利率协议的利息是根据合约中的名义本金计算的。其计算公式：

M?(L?F)?P?DB?(L?D)

式中：M为利息差额；P为合约中的名义本金；L为交割日的市场利率；F为合约利率；D为合约期限；B为一年的天数。

之所以是上述公式，这是因为远期利率中，是在合约开始而不是结束时才结算付款的，因此，实际的付款额应该折

现计算。

如果我们假设支付利息额为x，则应有： X【1+L×（D÷B）】=（L-F）×P×(D÷B)，则

X?L?F??P?D?L?F??P?DB? ?1?L?DBB?L?D计算出利息差额后，若市场利率高于合约利率，则由卖方将利差补给买方；若市场利率低于合约利率，则由买方将利差补给卖方。

例如：某甲行3个月后要拆进一笔1000万元3个月期的款项，该行担心利率会上升，为此决定按现行3个月

LIBOR年率7.5%向乙行买入1000万元的FRA（3个月对6个月），若3个月后，3个月的LIBOR年率上升为8.5%，则本笔交易支付的利息应为：

1000?(8.5%?7.5%)?90（万元） 360?(8.5%?90)M??2.45由于FRA交割日的市场利率高于FRA的合约利率，故应由卖方乙银行付给买方甲银行2.45万元。

利率互换的基本运用

假定某家公司目前有一笔以LIBOR+100个基点利率的借款，公司担心在剩余时间市场利率会上升。于是公司决定安排一次以固定利率换浮动利率的利率互换。 如图所示：

LIBOR 公司 银行借款 LIBOR+1% 8.75% 互换对方 通过上述利率互换交易，该公司有效地将其未来时间内的融资成本锁定为9.75%。

假定某公司在5年前发行了一笔10年期债券，年利率9.95%，每年付息一次，其后市场利率出现较大幅度的下跌，该公司为了减轻利息负担，决定以固定利率对浮动利率作一次利率互换，其报价为6.95%对一年期的LIBOR。如图所示：

6.95% 债券购买者 9.95% LIBOR 公司 互换对方 通过上面的互换，该公司在未来5年按LIBOR支付利息，同时收到6.95%的固定利率收益，若当年LIBOR为5%，则公司的成本就是8%（9.95%+5%－6.95%），低于9.95%。当然，随之公司就将面临浮动利率风险。

（3）对资产的风险管理

假设某基金管理人买进了某种5年期，每6个月按LIBOR+43个基点付息的浮动利率债券，公司希望将浮动利率收益变为固定利率收益，若当时市场利率互换报价为7.55%对6个月LIBOR，如图所示：

7.55% 债券发行者 基金公司 LIBOR+0.43% LIBOR 通过上述互换，基金可获得7.98%的固定收益。 利率上限、下限及利率上下限的有关计算见书本342-347. 记得做课后习题349.

互换对方

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